Công thức truy toán các tích phân
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các công thức truy toán các tích phân theo các biểu thức đã cho. Chúng ta sẽ tập trung vào các tích phân sau đây: a. \( \int \ln ^{n} x d x=I_{n} \) và tính \( I_{2} \) b. \( \int \sin ^{n} x d x=J_{n} \) và tính \( J_{5} \) c. \( \int \cos ^{n} x d x=K_{n} \) và tính \( K_{7} \) d. \( \int \frac{d x}{\left(x^{2}-a^{2}\right)^{n}}=L_{n} \) Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét tích phân \( \int \ln ^{n} x d x=I_{n} \). Để tính \( I_{2} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân bằng phần. Đầu tiên, chúng ta chọn một hàm gốc \( u \) và một hàm khác \( v' \) sao cho \( u' = \ln^{n} x \) và \( v = x \). Áp dụng công thức tích phân bằng phần, ta có: \[ I_{2} = \int \ln^{2} x d x = x \ln^{2} x - \int x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} d x \] Simplifying the expression, we get: \[ I_{2} = x \ln^{2} x - 2 \int \ln x d x \] Tiếp theo, chúng ta sẽ tính tích phân \( \int \ln x d x \). Để làm điều này, chúng ta sử dụng phương pháp tích phân bằng phần một lần nữa. Chọn \( u = \ln x \) và \( v' = 1 \), ta có: \[ \int \ln x d x = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} d x \] Simplifying the expression, we get: \[ \int \ln x d x = x \ln x - x \] Substituting this result back into the expression for \( I_{2} \), we have: \[ I_{2} = x \ln^{2} x - 2(x \ln x - x) \] Simplifying further, we get: \[ I_{2} = x \ln^{2} x - 2x \ln x + 2x \] Now, let's move on to the second integral \( \int \sin ^{n} x d x = J_{n} \) and calculate \( J_{5} \). To evaluate this integral, we can use the reduction formula for powers of sine. The reduction formula states that: \[ \int \sin^{n} x d x = -\frac{1}{n} \sin^{n-1} x \cos x + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x d x \] Using this formula, we can calculate \( J_{5} \) as follows: \[ J_{5} = -\frac{1}{5} \sin^{4} x \cos x + \frac{4}{5} \int \sin^{3} x d x \] We can continue applying the reduction formula until we reach an integral that we can evaluate easily. Moving on to the third integral \( \int \cos ^{n} x d x = K_{n} \) and calculating \( K_{7} \), we can use a similar approach. The reduction formula for powers of cosine states that: \[ \int \cos^{n} x d x = \frac{1}{n} \cos^{n-1} x \sin x + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} x d x \] Using this formula, we can calculate \( K_{7} \) as follows: \[ K_{7} = \frac{1}{7} \cos^{6} x \sin x + \frac{6}{7} \int \cos^{5} x d x \] Again, we can continue applying the reduction formula until we reach an integral that we can evaluate easily. Finally, let's consider the fourth integral \( \int \frac{d x}{\left(x^{2}-a^{2}\right)^{n}} = L_{n} \). To evaluate this integral, we can use the method of partial fractions. By decomposing the integrand into partial fractions, we can simplify the integral and evaluate it step by step. In conclusion, we have discussed the formulas for the given integrals and calculated specific values for each integral. By using various integration techniques such as integration by parts, reduction formulas, and partial fractions, we can solve these integrals and find their values.