Tính liên tục của hàm số \( f(x) \) tại \( x = 2 \)
Hàm số \( f(x) = \left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-4}{x-2} & , \text { khi } x <br/ >eq 2 \\ 3 x-2 & \text {, khi } x=2\end{array}\right. \) là một hàm số định nghĩa bằng hai công thức khác nhau tại \( x = 2 \). Để xác định tính liên tục của hàm số này tại điểm \( x = 2 \), chúng ta cần kiểm tra xem giá trị của hàm số tại \( x = 2 \) có bằng với giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 2 hay không. Đầu tiên, chúng ta xét giới hạn của hàm số \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 từ bên trái. Khi \( x \) tiến đến 2 từ bên trái, ta có: \[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{x^{2}-4}{x-2} \] Để tính giới hạn này, ta có thể sử dụng phép chia tỷ lệ hoặc phép nhân tỷ lệ. Ta sẽ sử dụng phép chia tỷ lệ: \[ \lim_{x \to 2^-} \frac{x^{2}-4}{x-2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \] Ở đây, ta có thể rút gọn được (x-2) ở tử và mẫu: \[ \lim_{x \to 2^-} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2^-} (x+2) = 4 \] Tiếp theo, chúng ta xét giới hạn của hàm số \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 từ bên phải. Khi \( x \) tiến đến 2 từ bên phải, ta có: \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} 3x-2 \] Đơn giản hóa giới hạn này, ta có: \[ \lim_{x \to 2^+} 3x-2 = 4 \] Vậy, giới hạn của hàm số \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 từ cả hai phía đều bằng 4. Do đó, ta có thể kết luận rằng hàm số \( f(x) \) là liên tục tại \( x = 2 \).