Chứng minh tam giác đồng dạng và song song
Giới thiệu: Bài viết này sẽ chứng minh rằng tam giác \( A B C \) và \( E D B \) đồng dạng và hai đường thẳng \( A C \) và \( B E \) song song. Phần 1: Chứng minh tam giác \( A D C \) và \( E D B \) đồng dạng Đầu tiên, ta biết rằng \( D \) là trung điểm của cạnh \( B C \). Vì vậy, ta có \( \mathrm{DA}=\mathrm{DE} \). Giả sử \( \triangle A D C \) và \( \triangle E D B \) không đồng dạng. Khi đó, tồn tại một góc trong tam giác \( \triangle A D C \) không bằng góc tương ứng trong tam giác \( \triangle E D B \). Xét góc \( \angle A D C \) và \( \angle E D B \). Vì \( \mathrm{DA}=\mathrm{DE} \), nên \( \angle A D C \) và \( \angle E D B \) là hai góc cùng nằm trên cùng một đường thẳng và có cùng một đỉnh \( D \). Do đó, \( \angle A D C \) và \( \angle E D B \) là hai góc đồng biên và có cùng đỉnh, nên chúng phải bằng nhau. Điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu. Vậy ta kết luận rằng tam giác \( \triangle A D C \) và \( \triangle E D B \) đồng dạng. Phần 2: Chứng minh đường thẳng \( A C \) và \( B E \) song song Ta đã chứng minh rằng tam giác \( \triangle A D C \) và \( \triangle E D B \) đồng dạng. Vì vậy, các cặp góc tương ứng trong hai tam giác này cũng bằng nhau. Xét góc \( \angle A C D \) và \( \angle B E D \). Vì \( \triangle A D C \) và \( \triangle E D B \) đồng dạng, nên \( \angle A C D \) và \( \angle B E D \) là hai góc tương ứng và bằng nhau. Do đó, \( \angle A C D \) và \( \angle B E D \) là hai góc đồng biên và có cùng đỉnh \( D \), nên chúng phải là hai góc đồng quy. Khi đó, ta có \( A C \) song song với \( B E \). Kết luận: Từ các chứng minh trên, ta có thể kết luận rằng tam giác \( A B C \) và \( E D B \) đồng dạng và hai đường thẳng \( A C \) và \( B E \) song song.