Chứng minh rằng \( B \) không chia hết cho 5
Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh rằng \( B \), với \( B = 4 + 4^2 + 4^3 + ... + 4^{2023} \), không chia hết cho 5. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đối chứng và phân tích số học. Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét một số tính chất của số chia hết. Nếu một số chia hết cho 5, tức là nó có thể được chia đều cho 5 mà không có phần dư. Điều này có nghĩa là tổng các chữ số của số đó cũng phải chia hết cho 5. Tiếp theo, chúng ta sẽ phân tích \( B \) thành các thành phần nhỏ hơn để xem xét. Ta có: \( B = 4 + 4^2 + 4^3 + ... + 4^{2023} \) \( = 4(1 + 4 + 4^2 + ... + 4^{2022}) + 4^{2023} \) Chúng ta có thể thấy rằng phần trong ngoặc đơn là một dãy số hình thành từ cơ số 4. Để xem xét tính chia hết cho 5 của dãy số này, chúng ta có thể xem xét các chữ số của các số trong dãy. Nếu chúng ta xem xét các chữ số của các số trong dãy, chúng ta sẽ thấy rằng chúng lặp lại theo một mô hình. Cụ thể, chúng ta có: \( 4^1 = 4 \) (chữ số đơn) \( 4^2 = 16 \) (chữ số đơn) \( 4^3 = 64 \) (chữ số đơn) \( 4^4 = 256 \) (chữ số đơn) \( 4^5 = 1024 \) (chữ số đơn) \( ... \) Chúng ta có thể thấy rằng chữ số cuối cùng của mỗi số trong dãy là 4. Điều này có nghĩa là tổng các chữ số của mỗi số trong dãy cũng là 4. Vì vậy, tổng các chữ số của dãy số này không chia hết cho 5. Quay trở lại \( B \), chúng ta có: \( B = 4(1 + 4 + 4^2 + ... + 4^{2022}) + 4^{2023} \) \( = 4k + 4^{2023} \) Trong đó \( k \) là tổng các chữ số của dãy số \( 1 + 4 + 4^2 + ... + 4^{2022} \). Vì tổng các chữ số của dãy số này không chia hết cho 5, nên \( k \) cũng không chia hết cho 5. Do đó, \( B \) không chia hết cho 5. Kết luận: Chúng ta đã chứng minh rằng \( B \), với \( B = 4 + 4^2 + 4^3 + ... + 4^{2023} \), không chia hết cho 5 bằng cách sử dụng phương pháp đối chứng và phân tích số học.