Tính các tích phân suy rộng
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính các tích phân suy rộng được yêu cầu trong bài tập. Hãy cùng nhau giải từng bài tập một để hiểu rõ hơn về cách tính và kết quả cuối cùng. Bài tập 1: \( \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x-1}} d x \) Để tính tích phân này, chúng ta có thể sử dụng phép đổi biến số. Đặt \( u = \sqrt{x-1} \), ta có \( d u = \frac{1}{2\sqrt{x-1}} d x \). Khi đó, tích phân trở thành \( \int_{0}^{1} 2 d u \). Tích phân này dễ dàng tính được và kết quả là 2. Bài tập 2: \( \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{3}} d x \) Để tính tích phân này, chúng ta sử dụng phép tích phân theo phần. Đặt \( u = \ln x \), ta có \( d u = \frac{1}{x} d x \). Khi đó, tích phân trở thành \( \int_{0}^{+\infty} \frac{u}{e^{3u}} d u \). Để tính tích phân này, chúng ta có thể sử dụng phép tích phân theo phần khác. Kết quả cuối cùng là 0. Bài tập 3: \( \int_{\sqrt{2}}^{+\infty} \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}} \) Để tính tích phân này, chúng ta sử dụng phép tích phân theo phần. Đặt \( u = \sqrt{x^{2}-1} \), ta có \( d u = \frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} d x \). Khi đó, tích phân trở thành \( \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{u} d u \). Tích phân này dễ dàng tính được và kết quả là \( \ln(\sqrt{x^{2}-1}) \Big|_{\sqrt{2}}^{+\infty} \), tức là \( \ln(\infty) - \ln(\sqrt{2}) \). Vì \( \ln(\infty) \) là vô cùng, nên kết quả cuối cùng là vô cùng. Bài tập 4: \( \int_{-\infty}^{1} x e^{3 x} d x \) Để tính tích phân này, chúng ta sử dụng phép tích phân theo phần. Đặt \( u = x \), ta có \( d u = d x \). Khi đó, tích phân trở thành \( \int_{-\infty}^{1} u e^{3 u} d u \). Để tính tích phân này, chúng ta có thể sử dụng phép tích phân theo phần khác. Kết quả cuối cùng là \( \frac{1}{3} e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x} \Big|_{-\infty}^{1} \), tức là \( \frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{9} e^{3} \). Bài tập 5: \( \int_{-\infty}^{0} \frac{d x}{\sqrt{4-x}} \) Để tính tích phân này, chúng ta sử dụng phép tích phân theo phần. Đặt \( u = \sqrt{4-x} \), ta có \( d u = -\frac{1}{2\sqrt{4-x}} d x \). Khi đó, tích phân trở thành \( \int_{+\infty}^{2} -2 d u \). Tích phân này dễ dàng tính được và kết quả là -4. Bài tập 6: \( \int_{-\infty}^{1} x e^{-x^{2}} d x \) Để tính tích phân này, chúng ta sử dụng phép tích phân theo phần. Đặt \( u = -x^{2} \), ta có \( d u = -2x d x \). Khi đó, tích phân trở thành \( \int_{+\infty}^{-1} -\frac{1}{2} e^{u} d u \). Tích phân này dễ dàng tính được và kết quả là \( -\frac{1}{2} e^{-x^{2}} \Big|_{+\infty}^{-1} \), tức là \( -\frac{1}{2} e^{-1} - (-\frac{1}{2} e^{-\infty}) \). Tóm lại, chúng ta đã giải các tích phân suy rộng được yêu cầu trong bài tập. Kết quả cuối cùng của từng bài tập đã được tính toán và trình bày.