Phép đổi biến trong tích phân và ứng dụng của nó
Phép đổi biến là một công cụ quan trọng trong tính toán tích phân, giúp chúng ta giải quyết các tích phân phức tạp bằng cách thay đổi biến số. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về phép đổi biến và áp dụng nó vào các bài toán cụ thể. a) Đầu tiên, chúng ta xem xét tích phân \( \int \cos 3 x d x \). Đặt \( u=3 x \), chúng ta có \( d u=3 d x \). Thay thế vào tích phân ban đầu, ta được: \[ \int \cos 3 x d x = \int \cos u \frac{d u}{3} = \frac{1}{3} \int \cos u d u \] Tích phân cuối cùng là tích phân của hàm cosin, mà chúng ta có thể tính được giá trị chính xác. Đây là một ví dụ đơn giản về phép đổi biến giúp chúng ta giải quyết tích phân một cách dễ dàng hơn. b) Tiếp theo, chúng ta xem xét tích phân \( \int x\left(4+x^{2}\right)^{10} d x \). Đặt \( u=4+x^{2} \), chúng ta có \( d u=2 x d x \). Thay thế vào tích phân ban đầu, ta được: \[ \int x\left(4+x^{2}\right)^{10} d x = \int \frac{1}{2} u^{10} d u \] Tích phân cuối cùng là tích phân của hàm mũ, mà chúng ta cũng có thể tính được giá trị chính xác. Phép đổi biến giúp chúng ta giải quyết tích phân này một cách hiệu quả. c) Tiếp theo, chúng ta xem xét tích phân \( \int x \sqrt{4 x^{2}+1} d x \). Đặt \( u=4 x^{2}+1 \), chúng ta có \( d u=8 x d x \). Thay thế vào tích phân ban đầu, ta được: \[ \int x \sqrt{4 x^{2}+1} d x = \int \frac{1}{8} \sqrt{u} d u \] Tích phân cuối cùng là tích phân của căn bậc hai, mà chúng ta cũng có thể tính được giá trị chính xác. Phép đổi biến giúp chúng ta giải quyết tích phân này một cách thuận tiện. d) Cuối cùng, chúng ta xem xét tích phân \( \int \cos ^{2} x \cdot \sin x d x \). Đặt \( u=\cos x \), chúng ta có \( d u=-\sin x d x \). Thay thế vào tích phân ban đầu, ta được: \[ \int \cos ^{2} x \cdot \sin x d x = -\int u^{2} d u \] Tích phân cuối cùng là tích phân của hàm mũ, mà chúng ta cũng có thể tính được giá trị chính xác. Phép đổi biến giúp chúng ta giải quyết tích phân này một cách dễ dàng. Từ những ví dụ trên, chúng ta có thể thấy rằng phép đổi biến là một công cụ hữu ích trong tính toán tích phân. Nó giúp chúng ta giải quyết các tích phân phức t