Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn $\vert \sqrt {x_{1}}-\sqrt {x_{2}}\vert =1$

4

(206 votes)

Trước khi tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn $\vert \sqrt {x_{1}}-\sqrt {x_{2}}\vert =1$, chúng ta cần xác định điều kiện để đồ thị hàm số và đường thẳng có thể cắt nhau. Đầu tiên, ta xét phương trình đường thẳng (d) có phương trình $y=mx+m^{2}$. Để đồ thị hàm số và đường thẳng cắt nhau, ta cần tìm điểm giao nhau của hai đường thẳng. Điểm giao nhau của hai đường thẳng là điểm có cùng tọa độ (x, y) thỏa mãn cả hai phương trình. Do đó, ta có hệ phương trình: $\begin{cases} y=x^{2}-3mx+m^{2}+1 \\ y=mx+m^{2} \end{cases}$ Giải hệ phương trình này, ta có: $x^{2}-3mx+m^{2}+1=mx+m^{2}$ $x^{2}-(3m-m)x+1=0$ Để đồ thị hàm số và đường thẳng cắt nhau tại 2 điểm phân biệt, ta cần phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với việc phương trình trên có delta dương. Ta tính delta của phương trình: $\Delta = (3m-m)^{2}-4(1)(1)$ $\Delta = 9m^{2}-6m+1-4$ $\Delta = 9m^{2}-6m-3$ Để phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt, ta cần $\Delta > 0$. Ta giải bất đẳng thức: $9m^{2}-6m-3 > 0$ $3(3m^{2}-2m-1) > 0$ $3(m-1)(3m+1) > 0$ Từ đó, ta có 2 trường hợp: Trường hợp 1: $m > 1$ Trường hợp 2: $m < -\frac{1}{3}$ Tiếp theo, ta cần tìm giá trị của m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn $\vert \sqrt {x_{1}}-\sqrt {x_{2}}\vert =1$. Điều này tương đương với việc tìm giá trị của m sao cho $\sqrt {x_{1}}-\sqrt {x_{2}} = \pm 1$. Ta giải phương trình: $\sqrt {x_{1}}-\sqrt {x_{2}} = \pm 1$ $\sqrt {x_{1}} = \sqrt {x_{2}} \pm 1$ $x_{1} = x_{2} \pm 2\sqrt {x_{2}} + 1$ Thay $x_{1}$ và $x_{2}$ bằng các giá trị tương ứng từ phương trình $x^{2}-(3m-m)x+1=0$, ta có: $x^{2}-(3m-m)x+1 = x^{2} \pm 2\sqrt {x} + 1$ $-(3m-m)x = \pm 2\sqrt {x}$ $-2\sqrt {x} = (3m-m)x$ $-2 = (3m-m)\sqrt {x}$ Để phương trình trên có nghiệm, ta cần $(3m-m)\sqrt {x} <br/ >eq 0$. Từ đó, ta có: $3m-m <br/ >eq 0$ $2m <br/ >eq 0$ $m <br/ >eq 0$ Vậy, giá trị của m không được bằng 0. Tóm lại, để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn $\vert \sqrt {x_{1}}-\sqrt {x_{2}}\vert =1$, ta cần thỏa mãn các điều kiện sau: 1. $m > 1$ hoặc $m < -\frac{1}{3}$ 2. $m <br/ >eq 0$ Với các giá trị của m thỏa mãn các điều kiện trên, ta có thể tính được giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn $\vert \sqrt {x_{1}}-\sqrt {x_{2}}\vert =1$.