Tìm điều kiện để biểu thức \( M \) xác định và rút gọn biểu thức
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về điều kiện để biểu thức \( M \) được xác định và cách rút gọn biểu thức đó. Để bắt đầu, chúng ta xem xét biểu thức \( M \) được cho: \( M=\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{x-1}\right): \frac{1}{x+\sqrt{x}} \) a) Điều kiện để biểu thức \( M \) xác định: Để biểu thức \( M \) xác định, mẫu số của nó không được bằng 0. Vì vậy, chúng ta cần xác định điều kiện để mẫu số không bằng 0. Đầu tiên, chúng ta xem xét mẫu số của biểu thức \( M \): \( x+\sqrt{x} \) Để mẫu số không bằng 0, ta cần loại trừ trường hợp \( x = -\sqrt{x} \), vì căn bậc hai không thể âm. Từ đó, ta có điều kiện \( x \geq 0 \). Tiếp theo, chúng ta xem xét các mẫu số trong tử số của biểu thức \( M \): \( \sqrt{x}+1 \) và \( x-1 \) Để mẫu số không bằng 0, ta cần loại trừ trường hợp \( \sqrt{x} = -1 \) và \( x = 1 \). Tuy nhiên, căn bậc hai không thể âm, vì vậy ta chỉ cần loại trừ trường hợp \( x = 1 \). Tóm lại, điều kiện để biểu thức \( M \) xác định là \( x \geq 0 \) và \( x <br/ >eq 1 \). b) Rút gọn biểu thức \( M \): Để rút gọn biểu thức \( M \), chúng ta sẽ thực hiện các phép tính và đơn giản hóa biểu thức. Bắt đầu bằng việc nhân tử số và mẫu số của \( M \) với \( x+\sqrt{x} \), ta có: \( M = \left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{x-1}\right) \times (x+\sqrt{x}) \) Tiếp theo, chúng ta thực hiện phép nhân và đơn giản hóa biểu thức: \( M = \frac{(x+\sqrt{x})(\sqrt{x}+1)+(x+\sqrt{x})(x-1)}{(\sqrt{x}+1)(x-1)} \) \( M = \frac{x^2+2x\sqrt{x}+\sqrt{x}+x^2-x-\sqrt{x}}{x-1} \) \( M = \frac{2x^2+2x\sqrt{x}-\sqrt{x}-x}{x-1} \) Cuối cùng, chúng ta có thể rút gọn biểu thức \( M \) thành: \( M = \frac{2x(x+\sqrt{x})-(x+\sqrt{x})}{x-1} \) \( M = \frac{(2x-1)(x+\sqrt{x})}{x-1} \) Với điều kiện \( x \geq 0 \) và \( x <br/ >eq 1 \), biểu thức \( M \) đã được rút gọn thành \( M = (2x-1)(x+\sqrt{x}) \). Kết luận: Trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về điều kiện để biểu thức \( M \) xác định và c