So sánh quan hệ trên \( \mathbf{R}^{2} \)
Trong toán học, quan hệ là một khái niệm quan trọng và được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu và so sánh hai quan hệ trên \( \mathbf{R}^{2} \), được ký hiệu là \( \mathscr{R}_{1} \) và \( \mathscr{R}_{2} \). Quan hệ \( \mathscr{R}_{1} \) được định nghĩa như sau: cho hai điểm \( (\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}) \) và \( (\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}) \) trên mặt phẳng \( \mathbf{R}^{2} \), ta có \( (\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}) \mathscr{R}_{1} (\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}) \) nếu và chỉ nếu \( \mathrm{x}_{1} \leq \mathrm{x}_{2} \) và \( \mathrm{y}_{1} \leq \mathrm{y}_{2} \). Trong khi đó, quan hệ \( \mathscr{R}_{2} \) được định nghĩa như sau: cho hai điểm \( (\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}) \) và \( (\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}) \) trên mặt phẳng \( \mathbf{R}^{2} \), ta có \( (\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}) \mathscr{R}_{2} (\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}) \) nếu và chỉ nếu \( \mathrm{y}_{1} \geq \mathrm{y}_{2} \). Bây giờ, chúng ta sẽ so sánh hai quan hệ này. Đầu tiên, ta nhận thấy rằng quan hệ \( \mathscr{R}_{1} \) yêu cầu cả hai tọa độ \( x \) và \( y \) của điểm đầu tiên phải nhỏ hơn hoặc bằng tọa độ tương ứng của điểm thứ hai. Trong khi đó, quan hệ \( \mathscr{R}_{2} \) chỉ yêu cầu tọa độ \( y \) của điểm đầu tiên phải lớn hơn hoặc bằng tọa độ tương ứng của điểm thứ hai. Do đó, ta có thể kết luận rằng quan hệ \( \mathscr{R}_{1} \) rộng hơn và bao gồm quan hệ \( \mathscr{R}_{2} \). Một ví dụ cụ thể để minh họa cho hai quan hệ này là: cho hai điểm \( A(2, 3) \) và \( B(4, 5) \). Ta có \( A \mathscr{R}_{1} B \) vì \( 2 \leq 4 \) và \( 3 \leq 5 \). Tuy nhiên, \( A \mathscr{R}_{2} B \) không đúng vì \( 3 \) không lớn hơn hoặc bằng \( 5 \). Từ ví dụ trên, ta có thể thấy rằng quan hệ \( \mathscr{R}_{1} \) đòi hỏi cả hai tọa độ \( x \) và \( y \) phải thỏa mãn điều kiện, trong khi đó quan hệ \( \mathscr{R}_{2} \) chỉ yêu cầu tọa độ \( y \) thỏa mãn điều kiện. Điều này cho thấy sự khác biệt giữa hai quan hệ này và cách chúng áp dụng trên mặt phẳng \( \mathbf{R}^{2} \). Tóm lại, trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu và so sánh hai quan hệ trên \( \mathbf{R}^{2} \), \( \mathscr{R}_{1} \) và \( \mathscr{R}_{2} \). Quan hệ \( \mathscr{R}_{1} \) yêu cầu cả hai tọa độ \( x \) và \( y \) của điểm đầu tiên phải nhỏ hơn hoặc bằng tọa độ tương ứng của điểm thứ hai, trong khi đó quan hệ \( \mathscr{R}_{2} \) chỉ yêu cầu tọa độ \( y \) của điểm đầu tiên phải lớn hơn hoặc bằng tọa độ tương ứng của điểm thứ hai.