Chứng minh và tính toán về các vector trong hình học

3

(221 votes)

Bài viết này tập trung vào việc chứng minh một đẳng thức liên quan đến các vector và tính toán với các vector trong hình học. Phần đầu tiên: Chứng minh đẳng thức \( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{E A} \triangleq \overrightarrow{C B}+\overrightarrow{E D} \). Trong hình học, vector là một khái niệm quan trọng để mô tả hướng và khoảng cách giữa các điểm trong không gian. Để chứng minh đẳng thức trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của vector và các phép toán vector. Đầu tiên, ta sẽ xem xét phép cộng vector. Phép cộng vector được thực hiện bằng cách cộng các thành phần tương ứng của hai vector. Ví dụ, nếu \( \overrightarrow{A B} = (x_1, y_1) \) và \( \overrightarrow{C D} = (x_2, y_2) \), thì \( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D} = (x_1+x_2, y_1+y_2) \). Tiếp theo, ta sẽ chứng minh đẳng thức \( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{E A} = \overrightarrow{C B}+\overrightarrow{E D} \). Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của phép cộng vector và các định lý trong hình học. Giả sử \( \overrightarrow{A B} = (x_1, y_1) \), \( \overrightarrow{C D} = (x_2, y_2) \), và \( \overrightarrow{E A} = (x_3, y_3) \). Khi đó, ta có: \( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{E A} = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) + (x_3, y_3) \) \( = (x_1+x_2+x_3, y_1+y_2+y_3) \) Tương tự, ta có: \( \overrightarrow{C B} = (x_2, y_2) \) và \( \overrightarrow{E D} = (x_3, y_3) \) Vậy \( \overrightarrow{C B}+\overrightarrow{E D} = (x_2+x_3, y_2+y_3) \). Do đó, ta có thể kết luận rằng \( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{E A} = \overrightarrow{C B}+\overrightarrow{E D} \), như yêu cầu của bài toán. Phần thứ hai: Tính toán giá trị của \( |\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{C B}| \) trong tam giác đều \( A B C \) với cạnh \( a \). Trong tam giác đều, các cạnh có cùng độ dài và các góc bằng nhau. Để tính toán giá trị của \( |\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{C B}| \), ta sẽ sử dụng tính chất của phép trừ vector và các định lý trong hình học. Giả sử \( \overrightarrow{B A} = (x_1, y_1) \) và \( \overrightarrow{C B} = (x_2, y_2) \). Khi đó, ta có: \( |\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{C B}| = |(x_1, y_1)-(x_2, y_2)| \) \( = |(x_1-x_2, y_1-y_2)| \) \( = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \) Với tam giác đều \( A B C \), ta biết rằng \( |\overrightarrow{B A}| = |\overrightarrow{C B}| = a \). Do đó, ta có thể thay thế \( x_1-x_2 \) bằng \( a \) và \( y_1-y_2 \) bằng \( 0 \) trong công thức trên. Vậy \( |\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{C B}| = \sqrt{a^2+0^2} = a \). Kết luận: Bài viết này đã chứng minh một đẳng thức liên quan đến các vector trong hình học và tính toán giá trị của một biểu thức vector trong tam giác đều. Việc chứng minh đẳng thức được thực hiện bằng cách sử dụng tính chất của phép cộng vector và các định lý trong hình học. Tính toán giá trị của biểu thức vector trong tam giác đều được thực hiện bằng cách sử dụng tính chất của phép trừ vector và các định lý trong hình học.