Cách chứng minh qui nạp trong các bài toán số học
Trong các bài toán số học, qui nạp là một phương pháp quan trọng để chứng minh các công thức và tính chất. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách chứng minh qui nạp trong các bài toán liên quan đến tổng, lũy thừa và phân số. Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét bài toán về tổng của các bình phương. Đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh rằng \(1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp qui nạp. Đầu tiên, chúng ta kiểm tra công thức trên cho trường hợp cơ sở, tức là \(n=1\). Ta có \(1^{2}=\frac{1(1+1)(2 \cdot 1+1)}{6}\), công thức đúng cho trường hợp cơ sở. Tiếp theo, chúng ta giả sử công thức đúng cho một giá trị \(k\), tức là \(1^{2}+2^{2}+\cdots+k^{2}=\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}\). Chúng ta cần chứng minh rằng công thức cũng đúng cho \(k+1\). Khi thêm \(k+1\) vào tổng, ta có \(1^{2}+2^{2}+\cdots+k^{2}+(k+1)^{2}\). Bằng cách sử dụng giả định qui nạp, ta có thể thay thế tổng trước đó bằng \(\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}\). Do đó, ta có: \(\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}+(k+1)^{2}=\frac{k(k+1)(2 k+1)+6(k+1)^{2}}{6}\) Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng \(\frac{k(k+1)(2 k+1)+6(k+1)^{2}}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2 k+3)}{6}\). Để làm điều này, ta cần chứng minh rằng \(k(k+1)(2 k+1)+6(k+1)^{2}=(k+1)(k+2)(2 k+3)\). Bằng cách mở rộng và rút gọn cả hai phía của phương trình, ta có thể chứng minh rằng cả hai phía bằng nhau. Do đó, công thức đúng cho \(k+1\). Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét bài toán về tổng của các lũy thừa. Đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh rằng \(1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Ta cũng sẽ sử dụng phương pháp qui nạp để chứng minh điều này. Tương tự như trước, chúng ta kiểm tra công thức cho trường hợp cơ sở, tức là \(n=1\). Ta có \(1^{3}=\left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^{2}\), công thức đúng cho trường hợp cơ sở. Sau đó, chúng ta giả sử công thức đúng cho \(k\), tức là \(1^{3}+2^{3}+\cdots+k^{3}=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2}\). Chúng ta cần chứng minh rằng công thức cũng đúng cho \(k+1\). Khi thêm \(k+1\) vào tổng, ta có \(1^{3}+2^{3}+\cdots+k^{3}+(k+1)^{3}\). Bằng cách sử dụng giả định qui nạp, ta có thể thay thế tổng trước đó bằng \(\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2}\). Do đó, ta có: \(\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2}+(k+1)^{3}=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2}+(k+1)^{2}(k+1)\) Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng \(\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2}+(k+1)^{2}(k+1)=\left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^{2}\). Để làm điều này, ta cần chứng minh rằng \(\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^{2}+(k+1)^{2}(k+1)=\left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^{2}\). Bằng cách mở rộng và rút gọn cả hai phía của phương trình, ta có thể chứng minh rằng cả hai phía bằng nhau. Do đó, công thức đúng cho \(k+1\). Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét bài toán về tổng của các phân số. Đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh rằng \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Một lần nữa, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp qui nạp để chứng minh điều này. Chúng ta bắt đầu bằng cách kiểm tra công thức cho trường hợp cơ sở, tức là \(n=1\). Ta có \(\frac{1}{1.2}=\frac{1}{1+1}\), công thức đúng cho trường hợp cơ sở. Sau đó, chúng ta giả sử công thức đúng cho \(k\), tức là \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}\). Chúng ta cần chứng minh rằng công thức cũng đúng cho \(k+1\). Khi thêm \(\frac{1}{k+1(k+2)}\) vào tổng, ta có \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\cdots+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}\). Bằng cách sử dụng giả định qui nạp, ta có thể thay thế tổng trước đó bằng \(\frac{k}{k+1}\). Do đó, ta có: \(\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}\) Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng \(\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}\). Để làm điều này, ta cần chứng minh rằng \(k(k+2)+1=(k+1)(k+2)\). Bằng cách mở rộng và rút gọn cả hai phía của phương trình, ta có thể chứng minh rằng cả hai phía bằng nhau. Do đó, công thức đúng cho \(k+1\). Cuối cùng, chúng ta sẽ xem xét bài toán về lũy thừa. Đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh rằng \((1+a)^{n} \geq 1+n a\) với \(a >-1\). Chúng ta cũng sẽ sử dụng phương pháp qui nạp để chứng minh điều này. Đầu tiên, chúng ta kiểm tra công thức cho trường hợp cơ sở, tức là \(n=1\). Ta có \((1+a)^{1} \geq 1+a\), công thức đúng cho trường hợp cơ sở. Sau đó, chúng ta giả sử công thức đúng cho \(k\), tức là \((1+a)^{k} \geq 1+ka\). Chúng ta cần chứng minh rằng công thức cũng đúng cho \(k+1\). Khi nhân \((1+a)\) vào cả hai phía của bất đẳng thức, ta có \((1+a)^{k+1} \geq (1+ka)(1+a)\). Bằng cách sử dụng giả định qui nạp, ta có thể thay thế cả hai phía bằng \(1+ka+a+ka^{2}\). Do đó, ta có: \(1+ka+a+ka^{2} \geq 1+(k+1)a\) Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng \(1+ka+a+ka^{2} \geq 1+(k+1)a\). Để làm điều này, ta cần chứng minh rằng \(ka+a^{2} \geq a\). Bằng cách rút gọn cả hai phía của bất đẳng thức, ta có thể chứng minh rằng cả hai phía bằng nhau. Do đó, công thức đúng cho \(k+1\). Từ những chứng minh trên, chúng ta có thể thấy rằng phương pháp qui nạp là một công cụ mạnh mẽ để chứng minh các công thức và tính chất trong các bài toán số học. Bằng cách sử dụng qui nạp, chúng ta có thể xây dựng một chuỗi các bước logic để chứng minh tính đúng đắn của các công thức.