Giải bài tập về đạo hàm và tính giới hạn
Bài tập 1: Tính đạo hàm và tìm giá trị để hàm số liên tục Trong bài tập này, chúng ta được cho một hàm số \( f(x) \) và cần tính đạo hàm \( f'(2) \) và tìm giá trị \( m \) để hàm số liên tục tại \( x = 0 \). Để tính đạo hàm \( f'(2) \), ta sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số trong mẫu số, sau đó tính đạo hàm của hàm số trong tử số và cuối cùng áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm thức chia. Sau khi tính toán, ta sẽ có giá trị của \( f'(2) \). Để tìm giá trị \( m \) để hàm số liên tục tại \( x = 0 \), ta sử dụng định nghĩa của tính liên tục. Hàm số sẽ liên tục tại \( x = 0 \) nếu giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 0 từ cả hai phía bằng \( f(0) \). Ta sẽ giải phương trình này để tìm giá trị của \( m \). Bài tập 2: Tính giới hạn và xác định hàm số Trong bài tập này, chúng ta được cho một hàm số \( f(x) \) và cần tính giới hạn \( D \) và xác định hàm số dưới dạng tổng các phân thức đơn giản. Để tính giới hạn \( D \), ta sử dụng quy tắc tính giới hạn của hàm hợp. Đầu tiên, ta tính giới hạn của hàm số trong mẫu số, sau đó tính giới hạn của hàm số trong tử số và cuối cùng tính giới hạn của hàm thức chia. Sau khi tính toán, ta sẽ có giá trị của \( D \). Để xác định hàm số dưới dạng tổng các phân thức đơn giản, ta sử dụng phương pháp phân tích thành phân thức đơn giản. Ta sẽ giải phương trình này để tìm giá trị của \( A \), \( B \) và \( C \). Bài tập 3: Tính đạo hàm và giới hạn cấp cao Trong bài tập này, chúng ta được cho các hàm số và cần tính đạo hàm cấp cao và giới hạn cấp cao. Để tính đạo hàm cấp cao, ta sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp và quy tắc tính đạo hàm của hàm mũ. Ta sẽ tính đạo hàm cấp 15 của hàm số \( f(x) \) và đạo hàm cấp 8 của hàm số \( g(x) \). Để tính giới hạn cấp cao, ta sử dụng quy tắc tính giới hạn của hàm hợp và quy tắc tính giới hạn của hàm mũ. Ta sẽ tính giới hạn cấp 20 của hàm số \( f(x) \). Cuối cùng, ta sẽ tính \( f^{(2021)}(-1) \) bằng cách sử dụng quy tắc tính đạo hàm cấp cao và giới hạn cấp cao. Trên đây là các bài tập về đạo hàm và tính giới hạn mà chúng ta cần giải quyết. Hy vọng rằng các hướng dẫn trên sẽ giúp bạn hiểu và giải quyết các bài tập này một cách dễ dàng và chính xác. Chúc bạn thành công!