Tính đạo hàm cấp n của các hàm số
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách tính đạo hàm cấp n của một số hàm số phổ biến. Điều này sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất và biểu diễn của các hàm số này. 1. Hàm số \( y=e^{\frac{x^{2}}{2}} \) với \( n=2 \): Để tính đạo hàm cấp 2 của hàm số này, chúng ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Kết quả là \( y''=x^{2}e^{\frac{x^{2}}{2}}-e^{\frac{x^{2}}{2}} \). 2. Hàm số \( y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) \) với \( n= \): Để tính đạo hàm cấp n của hàm số này, chúng ta sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp và hàm ngược. Kết quả là \( y^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+\sqrt{1+x^{2}})^{n}} \). 3. Hàm số \( y=\sqrt{x} \) với \( n=5 \): Đạo hàm cấp 5 của hàm số này là \( y^{(5)}=\frac{(-1)^{4}4!}{2^{5}x^{5/2}} \). 4. Hàm số \( y=x e^{x}+e^{-x} \) tại \( x_{0}=0 \): Đạo hàm cấp n của hàm số này tại \( x_{0}=0 \) có thể được tính bằng cách sử dụng quy tắc đạo hàm của tích và đạo hàm của hàm mũ. Kết quả là \( y^{(n)}=n!+(-1)^{n}n! \). 5. Hàm số \( y=\frac{1}{1-x^{2}} \): Đạo hàm cấp n của hàm số này có thể được tính bằng cách sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm thức nghịch đảo và đạo hàm của hàm lũy thừa. Kết quả là \( y^{(n)}=n!(n+1)x^{n+2} \). 6. Hàm số \( y=\sin x \): Đạo hàm cấp n của hàm số này có thể được tính bằng cách sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm sin và hàm cos. Kết quả là \( y^{(n)}=\sin \left(x+\frac{n\pi}{2}\right) \). 7. Hàm số \( y=\cos x \): Đạo hàm cấp n của hàm số này có thể được tính bằng cách sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm cos và hàm sin. Kết quả là \( y^{(n)}=\cos \left(x+\frac{n\pi}{2}\right) \). Tóm lại, trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về cách tính đạo hàm cấp n của một số hàm số phổ biến. Việc hiểu rõ về tính chất và biểu diễn của các hàm số này sẽ giúp chúng ta áp dụng chúng vào các bài toán thực tế và nghiên cứu.