Giải phương trình logarithm
Phương trình logarithm là một trong những khái niệm quan trọng trong toán học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải phương trình logarithm có dạng \(2 \log _{4} x+\log _{2}(x-3)>2\). Đây là một bài toán thú vị và có thể áp dụng trong nhiều tình huống thực tế. Đầu tiên, chúng ta cần chuyển đổi phương trình logarithm về cùng một cơ số. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ chuyển đổi cơ số của logarithm thứ nhất từ 4 sang 2. Để làm điều này, chúng ta sử dụng quy tắc chuyển đổi cơ số logarithm: \( \log _{a} b = \frac{\log _{c} b}{\log _{c} a}\), với \(c\) là cơ số mới. Áp dụng quy tắc này, ta có: \(2 \log _{4} x = \frac{2 \log _{2} x}{\log _{2} 4}\). Vì \(\log _{2} 4 = 2\), ta có thể đơn giản hóa phương trình thành: \(\log _{2} x + \log _{2} (x-3) > 1\). Tiếp theo, chúng ta sử dụng quy tắc cộng logarithm để kết hợp hai logarithm thành một logarithm duy nhất. Quy tắc này là: \(\log _{a} b + \log _{a} c = \log _{a} (b \cdot c)\). Áp dụng quy tắc này, ta có: \(\log _{2} (x \cdot (x-3)) > 1\). Tiếp theo, chúng ta chuyển đổi phương trình logarithm thành phương trình mũ tương ứng. Để làm điều này, ta sử dụng quy tắc chuyển đổi logarithm: \( \log _{a} b = c \) tương đương với \( a^{c} = b \). Áp dụng quy tắc này, ta có: \(2^{1} > x \cdot (x-3)\). Tiếp theo, chúng ta giải phương trình bậc hai \(x \cdot (x-3) < 2\). Để làm điều này, ta chuyển phương trình về dạng tiêu chuẩn \(x^{2} - 3x - 2 < 0\) và tìm các giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện này. Cuối cùng, chúng ta kiểm tra các giá trị \(x\) tìm được và xác định tập nghiệm của phương trình ban đầu. Tóm lại, trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu cách giải phương trình logarithm có dạng \(2 \log _{4} x+\log _{2}(x-3)>2\). Qua quá trình giải, chúng ta đã áp dụng các quy tắc chuyển đổi logarithm và giải phương trình bậc hai để tìm ra tập nghiệm của phương trình ban đầu.