Tính giá trị của một giới hạn

4

(350 votes)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách tính giá trị của một giới hạn cụ thể. Yêu cầu của chúng ta là tính giá trị của $\lim _{h\rightarrow 0}\frac {(3+h)^{-1}-3^{-1}}{h}$. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm. Đầu tiên, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc của đạo hàm để tính đạo hàm của hàm số $(3+h)^{-1}$. Quy tắc này cho chúng ta biết rằng đạo hàm của một hàm số là đạo hàm của hàm số đó tại một điểm cộng với đạo hàm của hàm số đó tại điểm đó nhân với đạo hàm của hàm số đó tại điểm đó. Áp dụng quy tắc này vào bài toán của chúng ta, chúng ta có: $\frac {d}{dh}(3+h)^{-1} = -1(3+h)^{-2} \cdot \frac {d}{dh}(3+h)$ Tiếp theo, chúng ta sẽ tính đạo hàm của hàm số $(3+h)$. Đây là một hàm số tuyến tính, vì vậy đạo hàm của nó sẽ là hệ số của $h$, tức là $1$. Thay vào công thức trên, chúng ta có: $\frac {d}{dh}(3+h)^{-1} = -1(3+h)^{-2} \cdot 1$ Simplifying this expression, we get: $\frac {d}{dh}(3+h)^{-1} = -\frac {1}{(3+h)^{2}}$ Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của $\lim _{h\rightarrow 0}\frac {(3+h)^{-1}-3^{-1}}{h}$. Để làm điều này, chúng ta sẽ thay $h$ bằng $0$ vào công thức đã tính được: $\lim _{h\rightarrow 0}\frac {(3+h)^{-1}-3^{-1}}{h} = \lim _{h\rightarrow 0}\frac {-\frac {1}{(3+h)^{2}}}{h}$ Tiếp theo, chúng ta sẽ thực hiện phép chia để đơn giản hóa biểu thức: $\lim _{h\rightarrow 0}\frac {-\frac {1}{(3+h)^{2}}}{h} = \lim _{h\rightarrow 0}\frac {-1}{h(3+h)^{2}}$ Bây giờ, chúng ta có thể thấy rằng khi $h$ tiến dần đến $0$, mẫu số và tử số đều tiến dần đến $0$. Vì vậy, chúng ta có thể áp dụng quy tắc L'Hôpital để tính giá trị của giới hạn này. Áp dụng quy tắc L'Hôpital, chúng ta có: $\lim _{h\rightarrow 0}\frac {-1}{h(3+h)^{2}} = \lim _{h\rightarrow 0}\frac {0}{1(3+h)^{2}}$ Simplifying this expression, we get: $\lim _{h\rightarrow 0}\frac {0}{1(3+h)^{2}} = 0$ Vậy kết quả của $\lim _{h\rightarrow 0}\frac {(3+h)^{-1}-3^{-1}}{h}$ là $0$. Trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về cách tính giá trị của một giới hạn cụ thể và đã áp dụng phương pháp đạo hàm và quy tắc L'Hôpital để giải quyết bài toán. Kết quả cuối cùng là $0$.