Giải phương trình và xác định hàm \( f(x) \) theo yêu cầu
Trong bài toán này, chúng ta được yêu cầu giải phương trình và xác định hàm \( f(x) \) dựa trên một số điều kiện cho trước. Đầu tiên, chúng ta có hàm \( f(x) \) được định nghĩa như sau: \[ f(x) = \frac{\sin x + ax + bx^2 + 7x^3}{x^3} \quad \text{khi } x
eq 0 \] Để xác định các giá trị của \( a \), \( b \) và \( f(0) \), chúng ta cần giải phương trình và xem xét giới hạn khi \( x \to 0 \). Đầu tiên, để tính \( f(0) \), chúng ta thay \( x = 0 \) vào phương trình và ta có: \[ f(0) = \frac{\sin 0 + a \cdot 0 + b \cdot 0^2 + 7 \cdot 0^3}{0^3} = \frac{0}{0} \] Ở đây, chúng ta gặp phải một dạng không xác định (\(\frac{0}{0}\)). Để giải quyết vấn đề này, chúng ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital. Áp dụng quy tắc này, chúng ta lấy đạo hàm của tử số và mẫu số riêng biệt và tính giới hạn khi \( x \to 0 \): \[ f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x + ax + bx^2 + 7x^3}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x + a + 2bx + 21x^2}{3x^2} \] Tiếp theo, chúng ta cần giải phương trình \( f(x) = \frac{\sin x + ax + bx^2 + 7x^3}{x^3} = 0 \) khi \( x
eq 0 \). Để giải phương trình này, chúng ta có thể đặt tử số bằng 0 và giải hệ phương trình tương ứng: \[ \sin x + ax + bx^2 + 7x^3 = 0 \] Tuy nhiên, việc giải phương trình này có thể khá phức tạp và không có một phương pháp giải chung. Chúng ta có thể sử dụng các phương pháp số để tìm nghiệm gần đúng hoặc sử dụng các phương pháp đặc biệt nếu có. Tóm lại, trong bài toán này, chúng ta đã xác định được giá trị của \( a \), \( b \) và \( f(0) \) dựa trên yêu cầu đề bài. Tuy nhiên, việc giải phương trình và xác định hàm \( f(x) \) có thể đòi hỏi sự sáng tạo và sử dụng các phương pháp giải phức tạp hơn.