Tính các giới hạn của các biểu thức đa thức
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính các giới hạn của các biểu thức đa thức. Chúng ta sẽ tập trung vào tính toán các giới hạn sau đây: 1. \(\lim \frac{2 n+1}{n^{3}+4 n^{2}+3}\) 2. \(\lim \frac{n^{2}+1}{2 n^{4}+n+1}\) 3. \(\lim \frac{2 n^{2}-n+3}{3 n^{2}+2 n+1}\) 4. \(\lim \frac{2 n^{4}+n^{2}-3}{3 n^{3}-2 n^{2}+1}\) 5. \(\lim \frac{3 n^{3}+2 n^{2}+n}{4-n^{2}}\) 6. \(\lim \frac{-4 n^{2}+2 n+5}{3 n+1}\) 7. \(\lim \frac{3 n^{3}+2 n^{2}+n}{n^{3}+4}\) 8. \(\lim \frac{-n^{2}+n-1}{2 n^{2}-1}\) Để tính các giới hạn này, chúng ta sẽ chia cả tử và mẫu cho \(n^a\) với số mũ \(a\) cao nhất. Sau đó, chúng ta sẽ xem xét giới hạn khi \(n\) tiến đến vô cùng. Hãy cùng đi vào từng biểu thức và tính toán giới hạn tương ứng. 1. \(\lim \frac{2 n+1}{n^{3}+4 n^{2}+3}\) Chia cả tử và mẫu cho \(n^3\), ta có: \(\lim \frac{\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{1+\frac{4}{n}+\frac{3}{n^3}}\) Khi \(n\) tiến đến vô cùng, các giá trị \(\frac{2}{n^2}\) và \(\frac{1}{n^3}\) tiến đến 0, và các giá trị \(\frac{4}{n}\) và \(\frac{3}{n^3}\) cũng tiến đến 0. Vì vậy, giới hạn của biểu thức này là \(\frac{0}{1+0+0} = 0\). 2. \(\lim \frac{n^{2}+1}{2 n^{4}+n+1}\) Chia cả tử và mẫu cho \(n^4\), ta có: \(\lim \frac{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}{2+\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^4}}\) Khi \(n\) tiến đến vô cùng, các giá trị \(\frac{1}{n^2}\) và \(\frac{1}{n^4}\) tiến đến 0, và các giá trị \(\frac{1}{n^3}\) và \(\frac{1}{n^4}\) cũng tiến đến 0. Vì vậy, giới hạn của biểu thức này là \(\frac{0}{2+0+0} = 0\). 3. \(\lim \frac{2 n^{2}-n+3}{3 n^{2}+2 n+1}\) Chia cả tử và mẫu cho \(n^2\), ta có: \(\lim \frac{2-\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}}{3+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}\) Khi \(n\) tiến đến vô cùng, các giá trị \(\frac{1}{n}\) và \(\frac{3}{n^2}\) tiến đến 0, và các giá trị \(\frac{2}{n}\) và \(\frac{1}{n^2}\) cũng tiến đến 0. Vì vậy, giới hạn của biểu thức này là \(\frac{2+0+0}{3+0+0} = \frac{2}{3}\). 4. \(\lim \frac{2 n^{4}+n^{2}-3}{3 n^{3}-2 n^{2}+1}\) Chia cả tử và mẫu cho \(n^3\), ta có: \(\lim \frac{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^3}-\frac{3}{n^3}}{3-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^3}}\) Khi \(n\) tiến đến vô cùng, các giá trị \(\frac{2}{n}\) và \(\frac{1}{n^3}\) tiến đến 0, và các giá trị \(\frac{3}{n^3}\) và \(\frac{1}{n^3}\) cũng tiến đến 0. Vì vậy, giới hạn của biểu thức này là \(\frac{0+0-0}{3-0+0} = 0\). 5. \(\lim \frac{3 n^{3}+2 n^{2}+n}{4-n^{2}}\) Chia cả tử và mẫu cho \(n^3\), ta có: \(\lim \frac{3+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{\frac{4}{n^3}-1}\) Khi \(n\) tiến đến vô cùng, các giá trị \(\frac{2}{n}\) và \(\frac{1}{n^2}\) tiến đến 0, và giá trị \(\frac{4}{n^3}\) cũng tiến đến 0. Vì vậy, giới hạn của biểu thức này là \(\frac{3+0+0}{0-1} = -3\). 6. \(\lim \frac{-4 n^{2}+2 n+5}{3 n+1}\) Chia cả tử và mẫu cho \(n\), ta có: \(\lim \frac{-4+\frac{2}{n}+\frac{5}{n^2}}{3+\frac{1}{n}}\) Khi \(n\) tiến đến vô cùng, các giá trị \(\frac{2}{n}\) và \(\frac{5}{n^2}\) tiến đến 0, và giá trị \(\frac{1}{n}\) cũng tiến đến 0. Vì vậy, giới hạn của biểu thức này là \(\frac{-4+0+0}{3+0} = -\frac{4}{3}\). 7. \(\lim \frac{3 n^{3}+2 n^{2}+n}{n^{3}+4}\) Chia cả tử và mẫu cho \(n^3\), ta có: \(\lim \frac{3+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{4}{n^3}}\) Khi \(n\) tiến đến vô cùng, các giá trị \(\frac{2}{n}\) và \(\frac{1}{n^2}\) tiến đến 0, và giá trị \(\frac{4}{n^3}\) cũng tiến đến 0. Vì vậy, giới hạn của biểu thức này là \(\frac{3+0+0}{1+0} = 3\). 8. \(\lim \frac{-n^{2}+n-1}{2 n^{2}-1}\) Chia cả tử và mẫu cho \(n^2\), ta có: \(\lim \frac{-1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{2-\frac{1}{n^2}}\) Khi \(n\) tiến đến vô cùng, các giá trị \(\frac{1}{n}\) và \(\frac{1}{n^2}\) tiến đến 0, và giá trị \(\frac{1}{n^2}\) cũng tiến đến 0. Vì vậy, giới hạn của biểu thức này là \(\frac{-1+0-0}{2-0} = -\frac{1}{2}\). Tóm lại, chúng ta đã tính được các giới hạn của các biểu thức đa thức theo yêu cầu của bài viết. Các giới hạn tương ứng là: 1. \(\lim \frac{2 n+1}{n^{3}+4 n^{2}+3} = 0\) 2. \(\lim \frac{n^{2}+1}{2 n^{4}+n+1} = 0\) 3. \(\lim \frac{2 n^{2}-n+3}{3 n^{2}+2 n+1} = \frac{2}{3}\) 4. \(\lim \frac{2 n^{4}+n^{2}-3}{3 n^{3}-2 n^{2}+1} = 0\) 5. \(\lim \frac{3 n^{3}+2 n^{2}+n}{4-n^{2}} = -3\) 6. \(\lim \frac{-4 n^{2}+2 n+5}{3 n+1} = -\frac{4}{3}\) 7. \(\lim \frac{3 n^{3}+2 n^{2}+n}{n^{3}+4} = 3\) 8. \(\lim \frac{-n^{2}+n-1}{2 n^{2}-1} = -\frac{1}{2}\) Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu cách tính các giới hạn của các biểu thức đa thức.