Chuỗi số \( \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}+n}{3 n^{2}+2}\right)^{n} \) hội tụ theo tiêu chuẩn nào?
Chuỗi số \( \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}+n}{3 n^{2}+2}\right)^{n} \) là một chuỗi vô hạn, và câu hỏi đặt ra là liệu chuỗi này có hội tụ hay không, và nếu có, thì theo tiêu chuẩn nào. Để xác định xem chuỗi số này có hội tụ hay không, chúng ta cần áp dụng một số tiêu chuẩn hội tụ chuỗi. Có nhiều tiêu chuẩn khác nhau, nhưng trong trường hợp này, chúng ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn so sánh. Tiêu chuẩn so sánh cho phép chúng ta so sánh chuỗi này với một chuỗi khác mà chúng ta đã biết hội tụ hoặc không hội tụ. Nếu chuỗi ban đầu có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn chuỗi so sánh và chuỗi so sánh hội tụ, thì chuỗi ban đầu cũng sẽ hội tụ. Để áp dụng tiêu chuẩn so sánh, chúng ta cần tìm một chuỗi so sánh phù hợp. Trong trường hợp này, chúng ta có thể sử dụng chuỗi \( \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n} \) làm chuỗi so sánh. Bây giờ, chúng ta cần so sánh chuỗi ban đầu với chuỗi so sánh. Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức giữa các chuỗi. Trong trường hợp này, chúng ta có thể thấy rằng: \( \left(\frac{n^{2}+n}{3 n^{2}+2}\right)^{n} \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{n} \) Vì vậy, chuỗi ban đầu nhỏ hơn hoặc bằng chuỗi so sánh. Nếu chuỗi so sánh hội tụ, thì chuỗi ban đầu cũng sẽ hội tụ. Chúng ta biết rằng chuỗi \( \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n} \) là một chuỗi hình học vô hạn và hội tụ với tỉ lệ \( \frac{1}{3} \). Vì vậy, theo tiêu chuẩn so sánh, chuỗi ban đầu cũng sẽ hội tụ với tỉ lệ \( \frac{1}{3} \). Vậy, câu trả lời cho câu hỏi là chuỗi số \( \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}+n}{3 n^{2}+2}\right)^{n} \) hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. Tuy nhiên, để xác định chính xác tỉ lệ hội tụ, chúng ta cần thực hiện các bước tính toán chi tiết hơn.