Tích phân suy rộng và giá trị của \(\alpha\)
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về tích phân suy rộng và xác định giá trị của \(\alpha\) để tích phân hội tụ. Yêu cầu của chúng ta là tính giá trị của tích phân \(I = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{1-2 \alpha}} dx\) và xác định giá trị của \(\alpha\) để tích phân này hội tụ. Đầu tiên, chúng ta cần hiểu rõ về tích phân suy rộng. Tích phân suy rộng là một dạng tích phân mà giới hạn trên của đoạn tích phân là vô cùng. Trong trường hợp này, đoạn tích phân là từ 1 đến vô cùng. Điều này có nghĩa là chúng ta đang tính tổng của các giá trị hàm từ 1 đến vô cùng. Tiếp theo, chúng ta cần tính giá trị của tích phân \(I = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{1-2 \alpha}} dx\). Để tích phân này hội tụ, chúng ta cần xác định giá trị của \(\alpha\) sao cho tích phân này hội tụ. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc hội tụ của tích phân. Theo quy tắc này, tích phân \(I\) hội tụ nếu và chỉ nếu giá trị của mũ \(1-2 \alpha\) lớn hơn 1. Tức là \(1-2 \alpha > 1\). Giải phương trình trên, ta có \(1-2 \alpha > 1\), từ đó suy ra \(-2 \alpha > 0\). Chia cả hai vế cho -2, ta được \(\alpha < 0\). Vậy, giá trị của \(\alpha\) để tích phân \(I\) hội tụ là \(\alpha < 0\). Tóm lại, để tích phân \(I = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{1-2 \alpha}} dx\) hội tụ, giá trị của \(\alpha\) phải là \(\alpha < 0\).