Tính chất của tứ giác và tiếp tuyến trong tam giác
Trong bài toán này, chúng ta có tam giác \( \triangle ABC \) với đường tròn ngoại tiếp \( (D) \) có đường kính \( AC \) cắt \( BC \) tại điểm \( D \). Gọi \( H \) và \( K \) lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng \( AD \) và \( DC \). a. Để xác định hình dạng của tứ giác \( AHDK \), ta cần phân tích các đặc điểm của nó. Đầu tiên, ta nhận thấy \( AH \) và \( DK \) là đường cao của tam giác \( \triangle ADC \), do đó \( AH \) và \( DK \) vuông góc với \( AD \) và \( DC \) tương ứng. Tiếp theo, ta thấy \( AH = HK \) vì \( H \) và \( K \) là trung điểm của \( AD \) và \( DC \). Vì vậy, tứ giác \( AHDK \) là tứ giác cân, tức là hai cạnh đối xứng qua đường cao \( AH \) có độ dài bằng nhau. b. Để chứng minh rằng \( DE \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (D) \), ta cần chứng minh rằng góc \( ODE \) bằng \( 90^\circ \), trong đó \( O \) là tâm của đường tròn \( (D) \). Đầu tiên, ta nhận thấy \( OE \) là đường phân giác của góc \( AOC \) (do \( E \) là giao điểm của \( OH \) và \( AC \)). Vì \( AC \) là đường tiếp tuyến của đường tròn \( (D) \) tại điểm \( C \), nên góc \( AOC \) là góc vuông. Do đó, \( OE \) là đường phân giác của góc vuông \( AOC \), nghĩa là \( OE \) vuông góc với \( AC \). Từ đó, ta có \( ODE = 90^\circ \), suy ra \( DE \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (D) \). Với các tính chất trên, ta đã chứng minh được rằng tứ giác \( AHDK \) là tứ giác cân và \( DE \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (D) \).