Giải tích hàm và tính giới hạn
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về giải tích hàm và tính giới hạn thông qua việc giải một bài toán cụ thể. Bài toán được đưa ra là tính giới hạn của hàm \( \frac{\sqrt{1+x \sin x}-1}{\tan ^{2} \frac{x}{2}} \) khi \( x \) tiến đến 0. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức và quy tắc trong giải tích hàm. Đầu tiên, chúng ta sẽ áp dụng công thức l'Hôpital để giải quyết phần tử và mẫu của hàm. Cụ thể, chúng ta sẽ tính đạo hàm của phần tử và mẫu riêng biệt và sau đó tính giới hạn của chúng khi \( x \) tiến đến 0. Bắt đầu với phần tử của hàm, chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( \sqrt{1+x \sin x}-1 \). Áp dụng quy tắc chuỗi, chúng ta có: \( \frac{d}{dx}(\sqrt{1+x \sin x}-1) = \frac{1}{2\sqrt{1+x \sin x}} \cdot (1+\sin x+x \cos x) \) Tiếp theo, chúng ta sẽ tính đạo hàm của mẫu \( \tan ^{2} \frac{x}{2} \). Sử dụng quy tắc chuỗi một lần nữa, chúng ta có: \( \frac{d}{dx}(\tan ^{2} \frac{x}{2}) = 2 \tan \frac{x}{2} \cdot \sec ^{2} \frac{x}{2} \) Sau khi tính được đạo hàm của phần tử và mẫu, chúng ta sẽ tính giới hạn của chúng khi \( x \) tiến đến 0. Điều này sẽ cho chúng ta giá trị của giới hạn ban đầu. Tuy nhiên, trước khi tính giới hạn, chúng ta cần kiểm tra xem giới hạn có tồn tại hay không. Điều này có thể được thực hiện bằng cách kiểm tra xem phần tử và mẫu có bị vô hướng hay không khi \( x \) tiến đến 0. Nếu cả phần tử và mẫu đều không bị vô hướng, chúng ta có thể tiếp tục tính giới hạn. Sau khi tính được giới hạn, chúng ta sẽ có kết quả cuối cùng cho bài toán này. Tóm lại, trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về giải tích hàm và tính giới hạn thông qua việc giải một bài toán cụ thể. Bài toán yêu cầu chúng ta tính giới hạn của hàm \( \frac{\sqrt{1+x \sin x}-1}{\tan ^{2} \frac{x}{2}} \) khi \( x \) tiến đến 0. Chúng ta đã sử dụng công thức l'Hôpital và quy tắc chuỗi để giải quyết bài toán này và cuối cùng thu được kết quả cuối cùng.