Tích phân \( I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x+\sin x}{\sin ^{\alpha} x} \mathrm{~d} x \) và tích phân hội tụ
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét tích phân \( I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x+\sin x}{\sin ^{\alpha} x} \mathrm{~d} x \) và xác định xem nó có hội tụ với các tích phân khác hay không. Để làm điều này, chúng ta sẽ so sánh tích phân \( I \) với các tích phân khác được đưa ra trong câu hỏi. Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét các tích phân sau đây: A. \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x \) B. \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x \) C. \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x \) D. \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{3}}{x^{\alpha}} \) Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét tích phân \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x \). Để so sánh nó với \( I \), chúng ta cần chuyển đổi biểu thức trong tích phân này để có cùng mẫu số với \( I \). Ta có thể làm điều này bằng cách viết lại \( x^{2} \) dưới dạng \( x^{\alpha} \cdot x^{2-\alpha} \). Khi làm như vậy, ta có thể viết lại tích phân như sau: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{\alpha} \cdot x^{2-\alpha}}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2-\alpha} \mathrm{d} x \) Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét tích phân \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x \). Tương tự như trước, chúng ta cần chuyển đổi biểu thức trong tích phân này để có cùng mẫu số với \( I \). Ta có thể làm điều này bằng cách viết lại \( 1 \) dưới dạng \( x^{\alpha-\alpha} \). Khi làm như vậy, ta có thể viết lại tích phân như sau: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{\alpha-\alpha}}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{0} \mathrm{d} x \) Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét tích phân \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x \). Tương tự như trước, chúng ta cần chuyển đổi biểu thức trong tích phân này để có cùng mẫu số với \( I \). Ta có thể làm điều này bằng cách viết lại \( x \) dưới dạng \( x^{\alpha-\alpha} \cdot x^{1-\alpha} \). Khi làm như vậy, ta có thể viết lại tích phân như sau: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{\alpha-\alpha} \cdot x^{1-\alpha}}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{1-\alpha} \mathrm{d} x \) Cuối cùng, chúng ta sẽ xem xét tích phân \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{3}}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x \). Tương tự như trước, chúng ta cần chuyển đổi biểu thức trong tích phân này để có cùng mẫu số với \( I \). Ta có thể làm điều này bằng cách viết lại \( x^{3} \) dưới dạng \( x^{\alpha-\alpha} \cdot x^{3-\alpha} \). Khi làm như vậy, ta có thể viết lại tích phân như sau: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{3}}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{\alpha-\alpha} \cdot x^{3-\alpha}}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{3-\alpha} \mathrm{d} x \) Sau khi chuyển đổi các tích phân trên, chúng ta có thể thấy rằng tích phân \( I \) có thể hội tụ với các tích phân A, B, C và D nếu và chỉ nếu \( \alpha > 2 \). Trong trường hợp này, tích phân \( I \) và các tích phân A, B, C và D đều hội tụ. Tóm lại, tích phân \( I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x+\sin x}{\sin ^{\alpha} x} \mathrm{~d} x \) hội tụ với các tích phân A, B, C và D nếu và chỉ nếu \( \alpha > 2 \).