Tính tích phân kép trên miền tam giác
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính tích phân kép trên miền tam giác. Yêu cầu của chúng ta là tính giá trị của tích phân kép \(I=\iint_{D}(xy+y)dxdy\) trên miền \(D\), với \(D\) là tam giác \(OAB\) có đỉnh \(O(0;0)\), \(A(1;1)\) và \(B(2;0)\). Để tính tích phân kép trên miền tam giác, chúng ta có thể sử dụng phương pháp chia miền tam giác thành hai miền tam giác nhỏ hơn hoặc sử dụng phương pháp biến đổi tọa độ. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chia miền tam giác thành hai miền tam giác nhỏ hơn. Đầu tiên, chúng ta chia miền tam giác \(D\) thành hai miền tam giác nhỏ hơn bằng cách vẽ đường thẳng song song với cạnh \(OA\) và đi qua điểm \(B\). Khi đó, ta có hai miền tam giác \(D_1\) và \(D_2\). Tiếp theo, chúng ta tính tích phân kép trên mỗi miền tam giác nhỏ hơn. Đối với miền tam giác \(D_1\), ta có: \[I_1=\iint_{D_1}(xy+y)dxdy\] Để tính tích phân này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp tích phân theo tọa độ hoặc phương pháp tích phân theo biến đổi tọa độ. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân theo tọa độ. Đặt \(x\) là tọa độ trục ngang và \(y\) là tọa độ trục đứng. Khi đó, miền tam giác \(D_1\) có các giới hạn sau: \(0 \leq x \leq 1\), \(0 \leq y \leq x\). Thay thế \(x\) và \(y\) vào biểu thức tích phân, ta có: \[I_1=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}(xy+y)dydx\] Tiếp theo, chúng ta tính tích phân kép trên miền tam giác \(D_2\). Tương tự như trên, ta có: \[I_2=\iint_{D_2}(xy+y)dxdy\] Đặt \(x\) là tọa độ trục ngang và \(y\) là tọa độ trục đứng. Khi đó, miền tam giác \(D_2\) có các giới hạn sau: \(1 \leq x \leq 2\), \(0 \leq y \leq 2-x\). Thay thế \(x\) và \(y\) vào biểu thức tích phân, ta có: \[I_2=\int_{1}^{2}\int_{0}^{2-x}(xy+y)dydx\] Cuối cùng, chúng ta tính tổng của \(I_1\) và \(I_2\) để có giá trị của tích phân kép trên miền tam giác \(D\): \[I=I_1+I_2\] Tính toán giá trị của \(I\) bằng cách tính giá trị của \(I_1\) và \(I_2\) theo các biểu thức tích phân đã tính được. Với phương pháp chia miền tam giác thành hai miền tam giác nhỏ hơn, chúng ta đã tính được giá trị của tích phân kép tr