Phân tích và chứng minh 7 hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 9
## Phân tích và chứng minh 7 hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 9
Hằng đẳng thức là những công thức toán học được sử dụng để rút gọn biểu thức, giải phương trình và chứng minh các định lý. Trong chương trình toán học lớp 9, chúng ta được học 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán đại số. Bài viết này sẽ phân tích và chứng minh từng hằng đẳng thức, giúp bạn hiểu rõ bản chất và cách áp dụng chúng một cách hiệu quả.
Bình phương của một tổng
Hằng đẳng thức đầu tiên là bình phương của một tổng: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Công thức này cho biết bình phương của tổng hai số bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích của hai số cộng bình phương số thứ hai. Để chứng minh hằng đẳng thức này, ta có thể sử dụng phép nhân đa thức:
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Bình phương của một hiệu
Hằng đẳng thức thứ hai là bình phương của một hiệu: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Công thức này cho biết bình phương của hiệu hai số bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích của hai số cộng bình phương số thứ hai. Chứng minh tương tự như hằng đẳng thức đầu tiên:
$(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a(a - b) - b(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Hiệu hai bình phương
Hằng đẳng thức thứ ba là hiệu hai bình phương: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$. Công thức này cho biết hiệu hai bình phương bằng tích của tổng và hiệu hai số đó. Chứng minh hằng đẳng thức này cũng rất đơn giản:
$(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$
Lập phương của một tổng
Hằng đẳng thức thứ tư là lập phương của một tổng: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Công thức này cho biết lập phương của tổng hai số bằng lập phương số thứ nhất cộng ba lần tích bình phương số thứ nhất với số thứ hai cộng ba lần tích số thứ nhất với bình phương số thứ hai cộng lập phương số thứ hai. Chứng minh hằng đẳng thức này có thể sử dụng phép nhân đa thức:
$(a + b)^3 = (a + b)(a + b)(a + b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Lập phương của một hiệu
Hằng đẳng thức thứ năm là lập phương của một hiệu: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Công thức này cho biết lập phương của hiệu hai số bằng lập phương số thứ nhất trừ ba lần tích bình phương số thứ nhất với số thứ hai cộng ba lần tích số thứ nhất với bình phương số thứ hai trừ lập phương số thứ hai. Chứng minh tương tự như hằng đẳng thức thứ tư:
$(a - b)^3 = (a - b)(a - b)(a - b) = (a^2 - 2ab + b^2)(a - b) = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
Tổng hai lập phương
Hằng đẳng thức thứ sáu là tổng hai lập phương: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Công thức này cho biết tổng hai lập phương bằng tích của tổng hai số với bình phương số thứ nhất trừ tích hai số cộng bình phương số thứ hai. Chứng minh hằng đẳng thức này có thể sử dụng phép nhân đa thức:
$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + ba^2 - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3$
Hiệu hai lập phương
Hằng đẳng thức thứ bảy là hiệu hai lập phương: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Công thức này cho biết hiệu hai lập phương bằng tích của hiệu hai số với bình phương số thứ nhất cộng tích hai số cộng bình phương số thứ hai. Chứng minh tương tự như hằng đẳng thức thứ sáu:
$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a(a^2 + ab + b^2) - b(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - ba^2 - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3$
## Kết luận
7 hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 9 là những công thức toán học quan trọng, giúp chúng ta rút gọn biểu thức, giải phương trình và chứng minh các định lý. Việc hiểu rõ bản chất và cách áp dụng các hằng đẳng thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán đại số một cách hiệu quả và nhanh chóng.