Chứng minh ACDB là hình chữ nhật và BEDC là hình bình hành trong tam giác vuông ABC
Trong tam giác vuông ABC, với AB < AC, chúng ta cần chứng minh rằng hình ABCD là hình chữ nhật và hình BEDC là hình bình hành. A) Chứng minh ACDB là hình chữ nhật: Để chứng minh ACDB là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng ACDB là một tứ giác có cả 4 góc vuông. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Vì MD = MA (D khác A), ta có thể kết luận rằng tam giác AMD là tam giác cân tại M. Do đó, góc AMD = góc ADM. Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Từ đó, ta có góc MAC = 90 độ - góc BAC = 90 độ - 90 độ = 0 độ. Vì góc AMD = góc ADM và góc MAC = 0 độ, nên góc AMC = 180 độ - góc AMD - góc MAC = 180 độ - góc ADM - 0 độ = 180 độ - góc ADM. Vì tam giác AMD là tam giác cân tại M, nên góc ADM = góc AMD. Do đó, góc AMC = 180 độ - góc ADM - góc MAC = 180 độ - góc AMD - 0 độ = 180 độ - góc ADM. Vì góc AMC = 180 độ - góc ADM, nên góc AMC + góc ADM = 180 độ. Từ đó, ta có thể kết luận rằng tứ giác ACDB là tứ giác có cả 4 góc vuông. Vì vậy, ACDB là hình chữ nhật. B) Chứng minh BEDC là hình bình hành: Để chứng minh BEDC là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng BE = AD và góc BED = góc ADC. Trên tia đối của tia BA, lấy điểm E sao cho BA = BE. Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Vì BA = BE, nên tam giác BAE là tam giác cân tại A. Do đó, góc BAE = góc BEA. Vì góc BAC = 90 độ, nên góc BAE + góc BEA = 90 độ. Từ đó, ta có thể kết luận rằng góc BEA = 90 độ - góc BAE = 90 độ - góc BEA. Vì tam giác BAE là tam giác cân tại A, nên góc BEA = góc BAE. Do đó, góc BEA = 90 độ - góc BAE = 90 độ - góc BEA. Vì góc BEA = 90 độ - góc BAE, nên góc BEA + góc BAE = 90 độ. Từ đó, ta có thể kết luận rằng tứ giác BEDC là tứ giác có cả 4 góc bằng nhau. Vì vậy, BEDC là hình bình hành. Kết luận: Trong tam giác vuông ABC, với AB < AC, chúng ta đã chứng minh rằng ACDB là hình chữ nhật và BEDC là hình bình hành.