Số điểm dừng của hàm hai biến \( z=x^{3}+3 x+y^{3}-3 y^{2} \)
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về số điểm dừng của hàm hai biến \( z=x^{3}+3 x+y^{3}-3 y^{2} \). Để làm điều này, chúng ta sẽ xem xét các giá trị của x và y để tìm ra các điểm mà hàm này không thay đổi. Đầu tiên, chúng ta cần tìm các điểm mà đạo hàm riêng theo x và y của hàm này bằng 0. Điều này có nghĩa là chúng ta cần giải hệ phương trình sau: \[ \begin{cases} \frac{{\partial z}}{{\partial x}}=0 \\ \frac{{\partial z}}{{\partial y}}=0 \end{cases} \] Đạo hàm riêng theo x của hàm \( z \) là: \[ \frac{{\partial z}}{{\partial x}}=3x^2+3 \] Đạo hàm riêng theo y của hàm \( z \) là: \[ \frac{{\partial z}}{{\partial y}}=3y^2-6y \] Giải hệ phương trình trên, ta có: \[ \begin{cases} 3x^2+3=0 \\ 3y^2-6y=0 \end{cases} \] Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ 3x^2+3=0 \Rightarrow x^2=-1 \] Phương trình này không có nghiệm thực, vì vậy không có điểm dừng của hàm \( z \) theo x. Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ 3y^2-6y=0 \Rightarrow y(3y-6)=0 \] Từ đây, ta có hai trường hợp: 1. \( y=0 \): Khi đó, ta có \( x^{3}+3 x=0 \). Điều này chỉ xảy ra khi \( x=0 \). Vậy, ta có một điểm dừng là (0,0). 2. \( 3y-6=0 \Rightarrow y=2 \): Khi đó, ta có \( x^{3}+3 x+8=0 \). Phương trình này không có nghiệm thực, vì vậy không có điểm dừng nào khác. Tổng kết, số điểm dừng của hàm hai biến \( z=x^{3}+3 x+y^{3}-3 y^{2} \) là 1. Vậy, đáp án đúng là A. 1.