Tính giới hạn của biểu thức \( \lim \sqrt{\frac{n(n+1)(2 n+1)}{12 n(n+7)(6 n+5)}} \)
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách tính giới hạn của biểu thức \( \lim \sqrt{\frac{n(n+1)(2 n+1)}{12 n(n+7)(6 n+5)}} \). Đây là một bài toán tính toán phức tạp, nhưng chúng ta có thể giải quyết nó bằng cách sử dụng các phương pháp và công thức phù hợp. Đầu tiên, chúng ta có thể nhận thấy rằng biểu thức trong dấu căn có dạng \(\frac{a}{b}\), trong đó \(a = n(n+1)(2 n+1)\) và \(b = 12 n(n+7)(6 n+5)\). Để tính giới hạn của biểu thức này, chúng ta cần xem xét sự biến thiên của \(a\) và \(b\) khi \(n\) tiến đến vô cùng. Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng các công thức và quy tắc trong tính toán giới hạn. Đầu tiên, chúng ta có thể phân tích \(a\) và \(b\) thành các thành phần nhỏ hơn để dễ dàng xem xét: \(a = n(n+1)(2 n+1) = 2n^3 + 3n^2 + n\) \(b = 12 n(n+7)(6 n+5) = 72n^3 + 504n^2 + 840n\) Tiếp theo, chúng ta có thể áp dụng quy tắc nhân và chia giới hạn để xem xét sự biến thiên của \(a\) và \(b\) khi \(n\) tiến đến vô cùng. Khi \(n\) tiến đến vô cùng, các hệ số của \(n^3\) trong \(a\) và \(b\) sẽ trở nên không đáng kể so với các hệ số của \(n^2\) và \(n\). Do đó, chúng ta có thể bỏ qua các thành phần \(n^3\) trong \(a\) và \(b\) khi tính giới hạn. Sau khi loại bỏ các thành phần \(n^3\), chúng ta có thể thấy rằng \(a\) và \(b\) đều có dạng \(n^2 + n\). Khi \(n\) tiến đến vô cùng, các thành phần \(n^2\) và \(n\) sẽ trở nên không đáng kể so với nhau. Do đó, chúng ta có thể xem xét giới hạn của \(\frac{a}{b}\) bằng cách xem xét giới hạn của \(\frac{n^2}{n^2}\), tức là 1. Vậy, giới hạn của biểu thức \( \lim \sqrt{\frac{n(n+1)(2 n+1)}{12 n(n+7)(6 n+5)}} \) là 1. Trên đây là quá trình tính toán và suy luận để tìm giới hạn của biểu thức đã cho. Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tính giới hạn của một biểu thức phức tạp như vậy.