Chứng minh bất đẳng thức $\frac {\sqrt {ab-1}}{b+c}+\frac {\sqrt {bc-1}}{c+a}+\frac {\sqrt {ca-1}}{a+b}\leqslant \frac {a+b+c}{4}$

4

(227 votes)

Giới thiệu: Bất đẳng thức cần chứng minh là $\frac {\sqrt {ab-1}}{b+c}+\frac {\sqrt {bc-1}}{c+a}+\frac {\sqrt {ca-1}}{a+b}\leqslant \frac {a+b+c}{4}$ với $a,b,c\geqslant 1$. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ sử dụng hai phương pháp là bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Phần 1: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số thực $x, y, z$ ta có $\frac{x+y+z}{3}\geq\sqrt{\frac{x y+z x+x y}{3}}$. Áp dụng vào bài toán, ta có: $\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}{3}\geq\sqrt{\frac{\left(\sqrt{ab}-\sqrt{(b+c)(a+b)}\right)\left(\sqrt{(c+a)(bc)}-\sqrt{(c+a)(ac)}\right)\left(\left(\sqrt{(b+c)(ac)}-\sqrt{(b+c)(ca)}\right)\right)}} $ $\Rightarrow \frac