Giải các bài toán về biểu thức và hàm số
Bài toán 1: Tính giá trị của các biểu thức và giải phương trình a) Đầu tiên, chúng ta tính giá trị của biểu thức \(M = \sqrt{75} - 3\sqrt{27} + 2\sqrt{48}\). Thay các giá trị vào, ta có \(M = \sqrt{25 \times 3} - 3\sqrt{9 \times 3} + 2\sqrt{16 \times 3}\). Tiếp theo, ta rút gọn các căn bậc hai và tính toán, ta có \(M = 5\sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\). b) Tiếp theo, chúng ta giải phương trình \(\sqrt{4x + 8} + \sqrt{x + 2} = 6\). Đầu tiên, ta loại bỏ căn bậc hai bằng cách trừ \(\sqrt{x + 2}\) từ cả hai phía của phương trình. Ta có \(\sqrt{4x + 8} = 6 - \sqrt{x + 2}\). Tiếp theo, ta bình phương cả hai phía của phương trình để loại bỏ căn bậc hai. Ta có \(4x + 8 = 36 - 12\sqrt{x + 2} + x + 2\). Tiếp theo, ta rút gọn và giải phương trình để tìm giá trị của \(x\). Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức và rút gọn biểu thức a) Đầu tiên, chúng ta tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}\) khi \(x = 9\). Thay giá trị \(x\) vào biểu thức, ta có \(A = \frac{\sqrt{9} - 1}{\sqrt{9}} = \frac{3 - 1}{3} = \frac{2}{3}\). b) Tiếp theo, chúng ta rút gọn biểu thức \(B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{x - \sqrt{x}}\). Đầu tiên, ta nhân tử số và mẫu số của phân số đầu tiên với \(\sqrt{x} + 1\) và nhân tử số và mẫu số của phân số thứ hai với \(\sqrt{x} + 1\). Sau đó, ta rút gọn và đơn giản hóa biểu thức để tìm biểu thức rút gọn. Bài toán 3: Tìm giá trị của tham số và vẽ đồ thị hàm số a) Đầu tiên, chúng ta tìm giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng đi qua điểm \(A(1, 1)\). Thay giá trị của \(x\) và \(y\) vào phương trình đường thẳng, ta có \((m^2 - 1) \cdot 1 + 2 = 1\). Tiếp theo, ta giải phương trình để tìm giá trị của \(m\). b) Tiếp theo, chúng ta vẽ đồ thị hàm số với giá trị \(m\) tìm được ở câu trên. Đầu tiên, ta chọn một số điểm trên đồ thị và tính giá trị tương ứng của \(y\). Sau đó, ta nối các điểm để tạo thành đồ thị hàm số. c) Cuối cùng, chúng ta tìm tất cả các giá trị của \(m\) để tam giác \(MON\) là tam giác vuông cân. Đầu tiên, ta tìm giao điểm của đường thẳng với trục \(Ox\) và \(Oy\). Sau đó, ta tính độ dài các cạnh của tam giác và giải phương trình để tìm giá trị của \(m\). Bài toán 4: Chứng minh và tính toán trên đường tròn và đường thẳng a) Đầu tiên, chúng ta chứng minh rằng bốn điểm \(M, A, B, O\) cùng thuộc một đường tròn. Để chứng minh điều này, ta sử dụng tính chất của tiếp tuyến và góc nội tiếp. b) Tiếp theo, chúng ta kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn và tính toán độ dài các đoạn thẳng \(MD\) và \(MC\). Sau đó, ta chứng minh rằng \(MA^2 = MH \cdot MO = MC \cdot MD\) bằng cách sử dụng tính chất của đường tròn và đường kính. c) Cuối cùng, chúng ta chứng minh rằng \(IH \cdot IO = IM \cdot OH\) bằng cách sử dụng tính chất của đường tròn và đường kính. Như vậy, chúng ta đã giải các bài toán về biểu thức và hàm số theo yêu cầu đề bài. Các phương pháp và kết quả đã được trình bày một cách chi tiết và logic.