Phân tích giới hạn của biểu thức \( \lim (\sqrt{n+2}-\sqrt{n+3}) \)
Trong bài viết này, chúng ta sẽ phân tích giới hạn của biểu thức \( \lim (\sqrt{n+2}-\sqrt{n+3}) \). Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng một số kỹ thuật và công thức liên quan đến giới hạn. Đầu tiên, chúng ta có thể chia tử và mẫu của biểu thức thành hai phần riêng biệt. Ta có: \( \sqrt{n+2}-\sqrt{n+3} = \frac{(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+3})(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+3})}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+3}} \) Tiếp theo, chúng ta có thể sử dụng công thức khai triển nhân hai binh phương để đơn giản hóa biểu thức. Ta có: \( \sqrt{n+2}-\sqrt{n+3} = \frac{(n+2)-(n+3)}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+3}} \) \( = \frac{-1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+3}} \) Bây giờ, chúng ta có thể tiếp tục tính giới hạn của biểu thức này. Khi n tiến tới vô cùng, ta có: \( \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+2}-\sqrt{n+3}) = \lim_{n \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+3}} \) Với giới hạn này, chúng ta có thể thấy rằng tử số là một hằng số (-1), trong khi mẫu số tăng lên vô cùng khi n tiến tới vô cùng. Do đó, giới hạn của biểu thức này là 0. Tóm lại, giới hạn của biểu thức \( \lim (\sqrt{n+2}-\sqrt{n+3}) \) là 0 khi n tiến tới vô cùng.