Giải phương trình bậc nhất trong bài toán số học
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải phương trình bậc nhất trong một bài toán số học cụ thể. Bài toán được đưa ra như sau: \[2^{x}+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}+\ldots+2^{x-2015}=2^{2019}-8\] Để giải phương trình này, chúng ta cần tìm giá trị của số tự nhiên \(x\). Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét phần bên trái của phương trình. Phần bên trái của phương trình là tổng của các lũy thừa của số 2, bắt đầu từ \(2^x\) và kết thúc ở \(2^{x-2015}\). Để đơn giản hóa phép tính, chúng ta có thể nhân cả phần bên trái và phần bên phải của phương trình với \(2^{-x}\). Khi làm như vậy, chúng ta sẽ có: \[1+2+2^2+2^3+\ldots+2^{2015}=2^{2019-x}-8 \times 2^{-x}\] Tiếp theo, chúng ta sẽ tính tổng của dãy số 2, bắt đầu từ 1 và kết thúc ở \(2^{2015}\). Đây là một dãy số học cấp số cộng với công sai là 2. Sử dụng công thức tổng của cấp số cộng, chúng ta có: \[S = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}\] Trong đó, \(S\) là tổng của dãy số, \(a_1\) là số hạng đầu tiên, \(r\) là công sai và \(n\) là số lượng số hạng trong dãy. Áp dụng công thức này vào phương trình, chúng ta có: \[\frac{1(1-2^{2016})}{1-2} = 2^{2019-x}-8 \times 2^{-x}\] Tiếp theo, chúng ta sẽ đơn giản hóa phương trình bằng cách tính toán các giá trị. Trong trường hợp này, chúng ta có: \[\frac{1(1-2^{2016})}{-1} = 2^{2019-x}-8 \times 2^{-x}\] \[2^{2016}-1 = 2^{2019-x}-8 \times 2^{-x}\] Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm cách đưa phương trình về dạng chuẩn để giải phương trình bậc nhất. Để làm điều này, chúng ta sẽ đưa cả hai mặt của phương trình về cùng một cơ số. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ đưa cả hai mặt của phương trình về cơ số 2. Khi làm như vậy, chúng ta có: \[2^{2016}-1 = 2^{2019-x}-2^3 \times 2^{-x}\] \[2^{2016}-1 = 2^{2019-x-3} \] Tiếp theo, chúng ta sẽ so sánh cả hai mặt của phương trình để tìm giá trị của \(x\). Trong trường hợp này, chúng ta có: \[2016 = 2019-x-3\] \[x = 2019-2016+3\] \[x = 6\] Vậy số tự nhiên \(x\) trong phương trình ban đầu là 6. Trên đây là cách giải phương trình bậc nhất trong bài toán số học được đưa ra. Bằng cách áp dụng các bước giải quyết logic và tính toán, chúng ta đã tìm ra giá trị của \(x\) là 6.