Chứng minh rằng \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \(AEF\) trong một hình chóp tứ giác
Trong bài toán này, chúng ta được cho một hình chóp tứ giác \(SABCD\) với đỉnh \(S\) và đáy là hình chữ nhật \(ABCD\). Điều kiện cho rằng \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(ABCD\). Chúng ta cần chứng minh rằng \(SC\) cũng vuông góc với mặt phẳng \(AEF\), trong đó \(E\) là một điểm thuộc \(SB\) và \(F\) là một điểm thuộc \(SD\) sao cho \(AE\) vuông góc với \(SB\) và \(AF\) vuông góc với \(SD\). Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học không gian và các định lý liên quan. Đầu tiên, chúng ta nhận thấy rằng \(ABCD\) là một hình chữ nhật, do đó \(AB\) song song với \(CD\) và \(AD\) song song với \(BC\). Tiếp theo, chúng ta xem xét mặt phẳng \(ABCD\) và mặt phẳng \(AEF\). Vì \(AE\) vuông góc với \(SB\) và \(AF\) vuông góc với \(SD\), nên \(AE\) và \(AF\) đồng thời vuông góc với mặt phẳng \(ABCD\). Điều này có nghĩa là \(AE\) và \(AF\) cùng nằm trong mặt phẳng \(ABCD\). Bây giờ, chúng ta xem xét đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(AEF\). Để chứng minh rằng \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \(AEF\), chúng ta cần chứng minh rằng \(SC\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(AEF\) và đi qua điểm \(C\). Giả sử chúng ta có một đường thẳng \(l\) nằm trong mặt phẳng \(AEF\) và đi qua điểm \(C\). Vì \(l\) nằm trong mặt phẳng \(AEF\), nên \(l\) cũng nằm trong mặt phẳng \(ABCD\) (vì \(AEF\) và \(ABCD\) cùng nằm trong mặt phẳng \(ABCD\)). Do đó, \(l\) cắt đường thẳng \(AB\) và \(CD\) tại hai điểm \(P\) và \(Q\) lần lượt. Vì \(AB\) song song với \(CD\), nên \(PQ\) song song với \(AB\) và \(CD\). Từ đó, ta có \(PQ\) vuông góc với \(AB\) và \(CD\). Nhưng \(AB\) vuông góc với \(SC\) (do \(ABCD\) là hình chữ nhật), nên \(PQ\) cũng vuông góc với \(SC\). Từ đó, ta có \(SC\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(AEF\) và đi qua điểm \(C\). Vì vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \(AEF\) trong hình chóp tứ giác \(SABCD\). Trên đây là quá trình chứng minh rõ r