Tọa độ của vectơ x trong không gian $\mathbb{R}^{3}$ dối với cơ sở chính tắc
Trong bài toán này, chúng ta cần xác định tọa độ của vectơ x trong không gian $\mathbb{R}^{3}$ dối với cơ sở chính tắc. Để làm điều này, chúng ta có cơ sở $S=\{u=(1,0,0), v=(1,1,0), w=(1,1,1)\}$ và vectơ $x=(1,2,3)$. Đầu tiên, chúng ta cần tìm cách biểu diễn vectơ $x$ dưới dạng tổ hợp tuyến tính của cơ sở $S$. Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng phép chiếu vectơ. Phép chiếu vectơ của vectơ $x$ lên vectơ $u$ được tính bằng công thức $\mathrm{proj}_{u}(x)=\frac{x \cdot u}{u \cdot u}u$. Tương tự, phép chiếu vectơ của vectơ $x$ lên vectơ $v$ và $w$ lần lượt là $\mathrm{proj}_{v}(x)=\frac{x \cdot v}{v \cdot v}v$ và $\mathrm{proj}_{w}(x)=\frac{x \cdot w}{w \cdot w}w$. Sau khi tính được các phép chiếu vectơ, chúng ta có thể tạo ra biểu diễn của vectơ $x$ dưới dạng tổ hợp tuyến tính của cơ sở $S$ bằng cách cộng các phép chiếu vectơ lại với nhau. Tức là $x=\mathrm{proj}_{u}(x)+\mathrm{proj}_{v}(x)+\mathrm{proj}_{w}(x)$. Áp dụng công thức, ta có: \begin{align*} \mathrm{proj}_{u}(x) &= \frac{x \cdot u}{u \cdot u}u = \frac{(1,2,3) \cdot (1,0,0)}{(1,0,0) \cdot (1,0,0)}(1,0,0) = \frac{1}{1}(1,0,0) = (1,0,0) \\ \mathrm{proj}_{v}(x) &= \frac{x \cdot v}{v \cdot v}v = \frac{(1,2,3) \cdot (1,1,0)}{(1,1,0) \cdot (1,1,0)}(1,1,0) = \frac{3}{2}(1,1,0) = \left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},0\right) \\ \mathrm{proj}_{w}(x) &= \frac{x \cdot w}{w \cdot w}w = \frac{(1,2,3) \cdot (1,1,1)}{(1,1,1) \cdot (1,1,1)}(1,1,1) = 2(1,1,1) = (2,2,2) \end{align*} Tổng hợp các phép chiếu vectơ, ta có: \begin{align*} x &= \mathrm{proj}_{u}(x)+\mathrm{proj}_{v}(x)+\mathrm{proj}_{w}(x) \\ &= (1,0,0)+\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},0\right)+(2,2,2) \\ &= \left(1+\frac{3}{2}+2,0+\frac{3}{2}+2,0+0+2\right) \\ &= \left(\frac{9}{2},\frac{7}{2},2\right) \end{align*} Vậy, tọa độ của vectơ $x$ dối với cơ sở chính tắc là $\left(\frac{9}{2},\frac{7}{2},2\right)$. Từ đó, ta có thể suy ra đáp án chính xác cho câu hỏi là tùy chọn A.