Chứng minh rằng \(B\) chia hết cho 13
Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh rằng \(B = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{120}\) chia hết cho 13. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng một số công thức và quy tắc trong đại số. Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét một công thức quan trọng trong đại số, đó là công thức tổng của một dãy số hình thành bởi một cấp số nhân. Công thức này được biểu diễn như sau: \[S_n = a \cdot \frac{{r^n - 1}}{{r - 1}}\] Trong đó, \(S_n\) là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên trong dãy số, \(a\) là số hạng đầu tiên, \(r\) là tỷ số công sai giữa các số hạng liên tiếp. Áp dụng công thức này vào dãy số \(3, 3^2, 3^3, \ldots, 3^{120}\), ta có: \[B = 3 \cdot \frac{{3^{121} - 1}}{{3 - 1}}\] Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng \(3^{121} - 1\) chia hết cho 13. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ, một định lý quan trọng trong lý thuyết số. Theo định lý Fermat nhỏ, nếu \(p\) là một số nguyên tố và \(a\) là một số nguyên không chia hết cho \(p\), thì \(a^{p-1} - 1\) chia hết cho \(p\). Ứng dụng định lý Fermat nhỏ vào trường hợp của chúng ta, ta có: \[3^{13-1} - 1 = 3^{12} - 1\] Vì 13 là một số nguyên tố và 3 không chia hết cho 13, nên theo định lý Fermat nhỏ, \(3^{12} - 1\) chia hết cho 13. Từ đó, ta có thể kết luận rằng \(3^{121} - 1\) cũng chia hết cho 13. Quay trở lại công thức ban đầu, ta có: \[B = 3 \cdot \frac{{3^{121} - 1}}{{3 - 1}}\] Vì cả \(3\) và \(\frac{{3^{121} - 1}}{{3 - 1}}\) đều chia hết cho 13, nên \(B\) cũng chia hết cho 13. Vậy, chúng ta đã chứng minh rằng \(B = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{120}\) chia hết cho 13.