Ứng dụng của định lý Ptolemy trong chứng minh các tính chất của tứ giác nội tiếp

4

(200 votes)

Định lý Ptolemy là một công cụ mạnh mẽ trong hình học, cho phép chúng ta khám phá và chứng minh các tính chất của tứ giác nội tiếp. Định lý này phát biểu rằng trong một tứ giác nội tiếp, tích của hai đường chéo bằng tổng tích của hai cặp cạnh đối diện. Ứng dụng của định lý Ptolemy trong việc chứng minh các tính chất của tứ giác nội tiếp rất đa dạng và hiệu quả, mở ra những cách tiếp cận mới cho việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp.

Ứng dụng của định lý Ptolemy trong chứng minh các tính chất của tứ giác nội tiếp

Định lý Ptolemy có thể được sử dụng để chứng minh nhiều tính chất quan trọng của tứ giác nội tiếp. Ví dụ, chúng ta có thể sử dụng định lý Ptolemy để chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tổng các góc đối diện bằng 180 độ.

Để chứng minh điều này, hãy xét tứ giác nội tiếp ABCD. Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác ABCD, ta có:

AC.BD = AB.CD + AD.BC

Giả sử góc A và góc C là hai góc đối diện trong tứ giác ABCD. Ta có:

AC.BD = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC = AB.CD + AD.BC =