Tính tích phân \( K=\int_{1}^{3} f(3 x) d x \) trong bài toán số học
Trong bài toán số học này, chúng ta được yêu cầu tính tích phân \( K=\int_{1}^{3} f(3 x) d x \), trong đó \( f(x) \) là một hàm số liên tục trên đoạn \([3 ; 9]\) và đã biết rằng \( \int_{3}^{e} f(x) z x=12 \). Chúng ta cần tìm giá trị của \( K \) từ các phương án đã cho. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số kiến thức về tích phân và biến đổi hàm số. Đầu tiên, chúng ta có thể áp dụng quy tắc thay đổi biến số trong tích phân để biến đổi tích phân ban đầu thành một tích phân khác có dạng dễ tính hơn. Trong trường hợp này, chúng ta thay thế \( u = 3x \), với đạo hàm \( du = 3dx \). Khi đó, giới hạn tích phân cũng thay đổi theo: khi \( x = 1 \), ta có \( u = 3 \), và khi \( x = 3 \), ta có \( u = 9 \). Với thay đổi biến số này, tích phân ban đầu trở thành \( \int_{3}^{9} f(u) \frac{1}{3} du \). Tiếp theo, chúng ta có thể sử dụng quy tắc cộng tích phân để chia nhỏ tích phân ban đầu thành các tích phân nhỏ hơn. Trong trường hợp này, chúng ta có thể chia nhỏ đoạn \([3 ; 9]\) thành các đoạn nhỏ hơn, ví dụ như \([3 ; e]\) và \([e ; 9]\). Với quy tắc cộng tích phân, chúng ta có thể viết lại tích phân ban đầu thành \( \int_{3}^{e} f(u) \frac{1}{3} du + \int_{e}^{9} f(u) \frac{1}{3} du \). Theo yêu cầu của bài toán, ta đã biết rằng \( \int_{3}^{e} f(x) z x = 12 \). Vì vậy, ta có thể thay thế giá trị này vào tích phân trên để thu được \( \frac{1}{3} \int_{3}^{e} f(u) du + \int_{e}^{9} f(u) \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \cdot 12 + \int_{e}^{9} f(u) \frac{1}{3} du \). Từ đây, chúng ta có thể thấy rằng giá trị của tích phân \( K \) sẽ phụ thuộc vào giá trị của \( \int_{e}^{9} f(u) \frac{1}{3} du \). Để tính giá trị này, chúng ta cần biết thêm về hàm số \( f(x) \) và các giới hạn của tích phân. Tuy nhiên, dựa trên thông tin đã cho, chúng ta không thể xác định chính xác giá trị của \( K \) từ các phương án đã cho. Vì vậy, không có phương án nào trong số A, B, C và D có thể được chọn là đáp án chính xác cho bài toán này.