Tìm miền hội tụ và tính tổng các chuỗi luỹ thừa có số hạng tổng quát
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về miền hội tụ và tính tổng của hai chuỗi luỹ thừa có số hạng tổng quát. Hai chuỗi luỹ thừa được đưa ra là \( u_{n}(x)=(3 n+1) x^{3 n} \) và \( u_{n}(x)=\left(2^{n}+3^{\prime \prime}\right) x^{n} \). Đầu tiên, chúng ta sẽ xác định miền hội tụ của từng chuỗi luỹ thừa. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng định lý hội tụ của chuỗi luỹ thừa. Đối với chuỗi \( u_{n}(x)=(3 n+1) x^{3 n} \), ta có: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}(x)}{u_{n}(x)} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(3(n+1)+1)x^{3(n+1)}}{(3n+1)x^{3n}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{3(n+1)+1}{3n+1} \right| \cdot \left| x^{3(n+1)-3n} \right| = 3|x^3| \] Để chuỗi \( u_{n}(x)=(3 n+1) x^{3 n} \) hội tụ, ta cần \( 3|x^3| < 1 \). Từ đó, ta suy ra miền hội tụ của chuỗi này là \( |x| < \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \). Tiếp theo, chúng ta sẽ xác định miền hội tụ của chuỗi \( u_{n}(x)=\left(2^{n}+3^{\prime \prime}\right) x^{n} \). Tương tự như trên, ta có: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{u_{n+1}(x)}{u_{n}(x)} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\left(2^{n+1}+3^{\prime \prime}\right)x^{n+1}}{\left(2^{n}+3^{\prime \prime}\right)x^{n}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2^{n+1}+3^{\prime \prime}}{2^{n}+3^{\prime \prime}} \right| \cdot \left| x^{(n+1)-n} \right| = 2|x| \] Để chuỗi \( u_{n}(x)=\left(2^{n}+3^{\prime \prime}\right) x^{n} \) hội tụ, ta cần \( 2|x| < 1 \). Từ đó, ta suy ra miền hội tụ của chuỗi này là \( |x| < \frac{1}{2} \). Sau khi đã xác định được miền hội tụ của từng chuỗi luỹ thừa, chúng ta có thể tính tổng của chúng. Để tính tổng của chuỗi \( u_{n}(x)=(3 n+1) x^{3 n} \), ta sử dụng công thức tổng của chuỗi luỹ thừa: \[ S(x) = \frac{a}{1-r} \] Trong đó, \( a \) là số hạng đầu tiên của chuỗi và \( r \) là tỷ số giữa hai số hạng liên tiếp. Áp dụng công thức này vào chuỗi \( u_{n}(x)=(3 n+1) x^{3 n} \), ta có: \[ S(x) = \frac{(3 \cdot 1+1) x^{3 \cdot 1}}{1-x^{3}} = \frac{4x^3}{1-x^{3}} \] Tương tự, để tính tổng của chuỗi \( u_{n}(x)=\left(2^{n}+3^{\prime \prime}\right) x^{n} \), ta sử dụng công thức tổng của chuỗi luỹ thừa: \[ S(x) = \frac{a}{1-r} \] Áp dụng công thức này vào chuỗi \( u_{n}(x)=\left(2^{n}+3^{\prime \prime}\right) x^{n} \), ta có: \[ S(x) = \frac{\left(2^{0}+3^{\prime \prime}\right) x^{0}}{1-x} = \frac{1+3^{\prime \prime}}{1-x} \] Tóm lại, trong bài viết này chúng ta đã tìm hiểu về miền hội tụ và tính tổng của hai chuỗi luỹ thừa có số hạng tổng quát. Chúng ta đã xác định được miền hội tụ của từng chuỗi và tính toán tổng của chúng bằng cách sử dụng công thức tổng của chuỗi luỹ thừa.