Giải phương trình $cos2 sin(\frac{\pi}{4} - x)$ trên đoạn $[0; \pi]$
Phương trình $cos2x = sin(\frac{\pi}{4} - x)$ là một phương trình trigonometri đơn giản nhưng rất quan trọng. Để giải phương trình này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của hàm sin và hàm cos. a) Ta có: $cos2x = sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$ Để chứng minh điều này, chúng ta có thể sử dụng công thức cộng của hàm sin và hàm cos: $sin(\frac{\pi}{2} - x) = cosx$. Thay thế $x$ bằng $2x$ trong công thức này, chúng ta có: $sin(\frac{\pi}{2} - 2x) = cos2x$. Do đó, phương trình ban đầu trở thành: $cos2x = sin(\frac{\pi}{2} - 2x)$. b) Phương trình $sin(\frac{\pi}{2} - 2x) = sin(\frac{\pi}{4} - x)$ có các nghiệm là: $x = \frac{\pi}{4} + k2\pi$ và $x = \frac{5\pi}{4} + k2\pi$, với $k \in Z$. Để chứng minh điều này, chúng ta có thể sử dụng công thức cộng của hàm sin: $sin(\frac{\pi}{2} - x) = cosx$. Thay thế $x$ bằng $\frac{\pi}{4} - x$ trong công thức này, chúng ta có: $sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - x)) = cos(\frac{\pi}{4} - x)$. Do đó, phương trình ban đầu trở thành: $sin(\frac{\pi}{2} - 2x) = cos(\frac{\pi}{4} - x)$. c) Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn $[0; \pi]$. Để chứng minh điều này, chúng ta cần tìm các giá trị của $x$ sao cho phương trình $cos2x = sin(\frac{\pi}{4} - x)$ đúng. Khi chúng ta sử dụng các nghiệm đã tìm được ở phần b, chúng ta sẽ thấy rằng các giá trị này đều thuộc đoạn $[0; \pi]$. d) Tổng các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn $[0; \pi]$ là $\frac{5\pi}{6}$. Để tính tổng các nghiệm của phương trình đã cho, chúng ta cần cộng tất cả các nghiệm đã tìm được ở phần b. Kết quả là $\frac{5\pi}{6}$. Vì vậy, phương trình $cos2x = sin(\frac{\pi}{4} - x)$ có hai nghiệm thuộc đoạn $[0; \pi]$, và tổng các nghiệm của phương trình này là $\frac{5\pi}{6}$.