Xây dựng phương trình mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước
Trong lĩnh vực hình học không gian, việc xác định phương trình mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước là một kỹ năng cơ bản và hữu ích. Hiểu rõ cách xây dựng phương trình này không chỉ giúp giải quyết các bài toán hình học mà còn là nền tảng cho việc nghiên cứu các khái niệm nâng cao hơn trong hình học giải tích. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách xây dựng phương trình mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa để bạn dễ dàng nắm bắt.
Xác định Vectơ Pháp Tuyến
Để xây dựng phương trình mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước, bước đầu tiên là xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Vectơ pháp tuyến là một vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trên mặt phẳng. Nếu mặt phẳng được cho bởi phương trình tổng quát:
```
Ax + By + Cz + D = 0
```
thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là:
```
\vec{n} = (A, B, C)
```
Xây dựng Phương Trình Mặt Phẳng Vuông Góc
Giả sử mặt phẳng cho trước có phương trình tổng quát là:
```
A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0
```
và chúng ta cần tìm phương trình mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng này. Do hai mặt phẳng vuông góc với nhau nên vectơ pháp tuyến của chúng cũng vuông góc với nhau. Điều này có nghĩa là tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng 0.
Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là:
```
A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0
```
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là:
```
\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)
```
Do $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ vuông góc với nhau nên:
```
\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0
```
Thay các giá trị vào, ta có:
```
A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0
```
Phương trình này cho ta một mối liên hệ giữa các hệ số của phương trình mặt phẳng cần tìm. Để xác định hoàn toàn phương trình mặt phẳng, chúng ta cần thêm một điều kiện nữa. Điều kiện này có thể là một điểm thuộc mặt phẳng cần tìm hoặc một đường thẳng nằm trên mặt phẳng cần tìm.
Ví Dụ Minh Họa
Giả sử chúng ta cần tìm phương trình mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng:
```
2x - y + 3z - 5 = 0
```
và đi qua điểm M(1, 2, 3).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cho trước là:
```
\vec{n_1} = (2, -1, 3)
```
Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là:
```
Ax + By + Cz + D = 0
```
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là:
```
\vec{n_2} = (A, B, C)
```
Do $\vec{n_1}$ và $\vec{n_2}$ vuông góc với nhau nên:
```
2A - B + 3C = 0
```
Mặt khác, điểm M(1, 2, 3) thuộc mặt phẳng cần tìm nên:
```
A + 2B + 3C + D = 0
```
Giải hệ phương trình trên, ta được:
```
A = -3, B = -7, C = 2, D = 11
```
Vậy phương trình mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước và đi qua điểm M(1, 2, 3) là:
```
-3x - 7y + 2z + 11 = 0
```
Kết Luận
Xây dựng phương trình mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước là một kỹ năng quan trọng trong hình học không gian. Bằng cách xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cho trước và sử dụng điều kiện vuông góc giữa hai mặt phẳng, chúng ta có thể tìm được phương trình mặt phẳng cần tìm. Việc hiểu rõ cách xây dựng phương trình này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và mở rộng kiến thức về hình học giải tích.