Phân tích của định tích \( \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{2 \sin x+\cos x+1} d x \)
Trong bài viết này, chúng ta sẽ phân tích định tích \( \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{2 \sin x+\cos x+1} d x \) và tìm hiểu cách tính nó. Để bắt đầu, chúng ta có thể nhận thấy rằng đây là một định tích không xác định, vì vậy chúng ta cần tìm một cách để giải quyết nó. Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng một số phương pháp phân tích đặc biệt. Một cách tiếp cận phổ biến để giải quyết định tích này là sử dụng phép thay đổi biến số. Chúng ta có thể thay đổi biến số bằng cách đặt \( u = 2 \sin x + \cos x + 1 \). Khi đó, \( d u = (2 \cos x - \sin x) d x \). Chúng ta cũng cần thay đổi giới hạn tích phân theo biến số mới. Khi \( x = 0 \), ta có \( u = 2 \sin 0 + \cos 0 + 1 = 2 \). Khi \( x = \frac{\pi}{2} \), ta có \( u = 2 \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} + 1 = 3 \). Vì vậy, định tích ban đầu trở thành \( \int_{2}^{3} \frac{1}{u} d u \). Tiếp theo, chúng ta có thể tính định tích mới này bằng cách sử dụng quy tắc cơ bản của định tích. Định tích \( \int \frac{1}{u} d u \) là \( \ln|u| + C \), với \( C \) là hằng số tích cực. Áp dụng quy tắc này, chúng ta có \( \int_{2}^{3} \frac{1}{u} d u = \ln|u| \bigg|_{2}^{3} = \ln|3| - \ln|2| \). Cuối cùng, chúng ta có thể đơn giản hóa kết quả bằng cách sử dụng tính chất của hàm logarithm. Vì \( \ln|3| - \ln|2| = \ln\left(\frac{3}{2}\right) \), nên kết quả cuối cùng của định tích ban đầu là \( \ln\left(\frac{3}{2}\right) \). Tóm lại, chúng ta đã phân tích và tính toán định tích \( \int_{0}^{\pi / 2} \frac{1}{2 \sin x+\cos x+1} d x \) bằng cách sử dụng phép thay đổi biến số và quy tắc cơ bản của định tích. Kết quả cuối cùng là \( \ln\left(\frac{3}{2}\right) \).