Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức

(270 votes)

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức \(D = \left(\frac{2x+1}{x-1} - \frac{2x-1}{x+1}\right) : \frac{6(x+1)}{x^2-1}\). Hãy cùng tìm hiểu và giải quyết từng phần của bài toán. a. Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(D\): Để tìm điều kiện xác định của biểu thức \(D\), chúng ta cần xác định các giá trị của \(x\) mà trong quá trình tính toán không gặp phải các giá trị không xác định hoặc không hợp lệ. Đầu tiên, chúng ta xem xét mẫu số của biểu thức \(D\). Ta thấy mẫu số là \((x^2-1)\). Để biểu thức \(D\) có giá trị xác định, mẫu số không được bằng 0. Vì vậy, ta có điều kiện \(x^2-1 eq 0\). Tiếp theo, chúng ta xem xét mẫu số của phần tử trong dấu ngoặc của biểu thức \(D\). Ta thấy mẫu số là \((x-1)\) và \((x+1)\). Để biểu thức \(D\) có giá trị xác định, cả hai mẫu số này cũng không được bằng 0. Vì vậy, ta có điều kiện \(x-1 eq 0\) và \(x+1 eq 0\). Tóm lại, điều kiện xác định của biểu thức \(D\) là \(x^2-1 eq 0\), \(x-1 eq 0\) và \(x+1 eq 0\). b. Rút gọn biểu thức \(D\): Để rút gọn biểu thức \(D\), chúng ta cần thực hiện các phép tính và đơn giản hóa biểu thức. Bắt đầu từ phần tử trong dấu ngoặc, ta có: \(\frac{2x+1}{x-1} - \frac{2x-1}{x+1} = \frac{(2x+1)(x+1) - (2x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}\) Tiếp theo, ta nhân các đơn thức trong tử số và mẫu số: \(\frac{(2x+1)(x+1) - (2x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x^2 + 3x + 1 - (2x^2 - 3x - 1)}{(x-1)(x+1)}\) Tiếp tục đơn giản hóa biểu thức: \(\frac{2x^2 + 3x + 1 - (2x^2 - 3x - 1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{6x}{(x-1)(x+1)}\) Vậy, biểu thức \(D\) sau khi rút gọn là \(\frac{6x}{(x-1)(x+1)}\). c. Tính giá trị của biểu thức \(D\) tại \(x = 2023\): Để tính giá trị của biểu thức \(D\) tại \(x = 2023\), chúng ta thay \(x\) bằng 2023 vào biểu thức \(D\) và tính toán. \(D = \frac{6(2023)}{(2023-1