Tìm các vec tơ riêng ứng với trị riêng \( \lambda=3 \) của ma trận \( A \)
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm các vec tơ riêng ứng với trị riêng \( \lambda=3 \) của ma trận \( A \). Đầu tiên, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm về vec tơ riêng và trị riêng. Vec tơ riêng là một vec tơ không bằng không mà khi nhân với ma trận, kết quả vẫn cùng hướng với vec tơ ban đầu. Trị riêng là một số thực mà khi nhân với vec tơ riêng tương ứng, ta thu được một bội số của vec tơ đó. Để tìm các trị riêng và vec tơ riêng của ma trận \( A \), chúng ta có thể sử dụng công thức tính trị riêng và vec tơ riêng. Công thức này là \( A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} \), trong đó \( \mathbf{v} \) là vec tơ riêng và \( \lambda \) là trị riêng. Để tìm các trị riêng, chúng ta cần giải phương trình đặc trưng \( \det(A-\lambda I)=0 \), trong đó \( I \) là ma trận đơn vị. Sau khi tìm được các trị riêng, chúng ta có thể tìm các vec tơ riêng ứng với từng trị riêng bằng cách giải hệ phương trình \( (A-\lambda I)\mathbf{v}=0 \). Trong trường hợp này, chúng ta cần tìm các vec tơ riêng ứng với trị riêng \( \lambda=3 \) của ma trận \( A \). Đầu tiên, chúng ta tính định thức của ma trận \( A-\lambda I \): \[ A-\lambda I = \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 4\end{array}\right] - 3\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & 1\end{array}\right] \] Tiếp theo, chúng ta giải phương trình đặc trưng \( \det(A-\lambda I)=0 \): \[ \det\left(\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & 1\end{array}\right]\right) = 0 \] Sau khi giải phương trình trên, chúng ta tìm được trị riêng \( \lambda=3 \). Tiếp theo, chúng ta giải hệ phương trình \( (A-\lambda I)\mathbf{v}=0 \) để tìm các vec tơ riêng ứng với trị riêng này: \[ \left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -2 & 1\end{array}\right]\mathbf{v} = \mathbf{0} \] Sau khi giải hệ phương trình trên, chúng ta tìm được các vec tơ riêng ứng với trị riêng \( \lambda=3 \). Tóm lại, chúng ta đã tìm được các vec tơ riêng ứng với trị riêng \( \lambda=3 \) của ma trận \( A \). Qua quá trình tính toán, chúng ta đã sử dụng