Chứng minh và giải thích tính chất của tứ giác AMDK trong tam giác vuông
Trong bài toán này, chúng ta được cho tam giác vuông ABC với đỉnh vuông góc tại A. Chúng ta cần chứng minh rằng tứ giác AMDK là hình chữ nhật và giải thích tính chất MK = 1/2 BC. Để chứng minh tứ giác AMDK là hình chữ nhật, chúng ta sẽ sử dụng các định lý và tính chất của tam giác và tứ giác. Đầu tiên, chúng ta xem xét tam giác ABC. Theo định lý trung điểm, ta biết rằng đường thẳng DM là đường trung bình của cạnh AC. Tương tự, đường thẳng DK là đường trung bình của cạnh AB. Do đó, ta có DM = 1/2 AC và DK = 1/2 AB. Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng tứ giác AMDK là hình chữ nhật. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các góc trong tam giác và tứ giác. Vì tam giác ABC là tam giác vuông, ta biết rằng góc BAC là góc vuông. Do đó, góc BAC = 90 độ. Chúng ta cũng biết rằng tứ giác AMDK là tứ giác có hai cạnh song song với nhau. Vì DM và DK là đường trung bình của các cạnh AC và AB, ta có DM || AC và DK || AB. Vì DM || AC và DK || AB, ta có góc AMD = góc ACD và góc AKD = góc ABD. Vì tam giác ABC là tam giác vuông, ta biết rằng góc ACD = góc ABD = 90 độ. Do đó, ta có góc AMD = góc ACD = 90 độ và góc AKD = góc ABD = 90 độ. Vì tứ giác AMDK có bốn góc vuông, ta kết luận rằng tứ giác AMDK là hình chữ nhật. Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh tính chất MK = 1/2 BC. Để làm điều này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của đường trung bình trong tam giác. Vì DM là đường trung bình của cạnh AC, ta có DM = 1/2 AC. Tương tự, vì DK là đường trung bình của cạnh AB, ta có DK = 1/2 AB. Do đó, ta có MK = DM - DK = 1/2 AC - 1/2 AB = 1/2 (AC - AB). Vì tam giác ABC là tam giác vuông, ta biết rằng cạnh AC và cạnh AB là hai cạnh vuông góc với nhau. Do đó, ta có AC = AB. Vì vậy, MK = 1/2 (AC - AB) = 1/2 (AB - AB) = 1/2 AB. Từ đó, ta kết luận rằng MK = 1/2 BC. Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được rằng tứ giác AMDK là hình chữ nhật và tính chất MK = 1/2 BC.