Xét tính bị chặn của các dãy số ##
### 1. Xét tính bị chặn của dãy số \( u_n = \frac{n^2 + 1}{2n^2 - 3} \) Để xác định tính bị chặn của dãy số, ta cần tìm giới hạn của \( u_n \) khi \( n \) tiến tới vô cùng. Ta có: \[ u_n = \frac{n^2 + 1}{2n^2 - 3} \] Chia cả tử và mẫu cho \( n^2 \): \[ u_n = \frac{1 + \frac{1}{n^2}}{2 - \frac{3}{n^2}} \] Khi \( n \) tiến tới vô cùng, các số hạng chứa \( \frac{1}{n^2} \) sẽ tiến tới 0. Do đó, ta có: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{1 + 0}{2 - 0} = \frac{1}{2} \] Vì giới hạn của \( u_n \) là một số hữu hạn, ta kết luận rằng dãy số \( u_n \) bị chặn. ### 2. Xét tính bị chặn của dãy số \( u_n = \frac{7n + 5}{5n + 7} \) Tương tự như trên, ta tìm giới hạn của \( u_n \) khi \( n \) tiến tới vô cùng: \[ u_n = \frac{7n + 5}{5n + 7} \] Chia cả tử và mẫu cho \( n \): \[ u_n = \frac{7 + \frac{5}{n}}{5 + \frac{7}{n}} \] Khi \( n \) tiến tới vô cùng, các số hạng chứa \( \frac{1}{n} \) sẽ tiến tới 0. Do đó, ta có: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \frac{7 + 0}{5 + 0} = \frac{7}{5} \] Vì giới hạn của \( u_n \) là một số hữu hạn, ta kết luận rằng dãy số \( u_n \) bị chặn. ### Kết luận - Dãy số \( u_n = \frac{n^2 + 1}{2n^2 - 3} \) bị chặn vì giới hạn của nó là \( \frac{1}{2} \). - Dãy số \( u_n = \frac{7n + 5}{5n + 7} \) bị chặn vì giới hạn của nó là \( \frac{7}{5} \). Như vậy, cả hai dãy số đều bị chặn và có giới hạn hữu hạn.