Tính tích vô hướng của hai vector trong tam giác vuông
Trong bài viết này, chúng ta sẽ giải quyết bài toán tính tích vô hướng của hai vector trong tam giác vuông. Yêu cầu của bài toán là tính \(AC \cdot CB\) trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với \(AB = a\), \(AC = 2a\) và \(\angle ACB = 30^{\circ}\). Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý cosin trong tam giác vuông. Định lý cosin cho biết rằng trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Áp dụng định lý cosin vào tam giác \(ABC\), ta có: \[AC^2 = AB^2 + BC^2\] Thay vào đó các giá trị đã cho, ta có: \[(2a)^2 = a^2 + BC^2\] Giải phương trình trên, ta tìm được giá trị của \(BC\): \[BC = a\sqrt{3}\] Tiếp theo, chúng ta sẽ tính tích vô hướng của hai vector \(AC\) và \(CB\). Tích vô hướng của hai vector được tính bằng cách nhân độ dài của chúng với cosin của góc giữa chúng. Trong trường hợp này, góc giữa hai vector \(AC\) và \(CB\) là góc \(30^{\circ}\). Vì vậy, ta có: \[AC \cdot CB = AC \cdot BC \cdot \cos(30^{\circ})\] Thay vào đó các giá trị đã biết, ta có: \[AC \cdot CB = 2a \cdot a\sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ})\] Simplifying the expression, we get: \[AC \cdot CB = a^2 \sqrt{3}\] Vậy, đáp án chính xác cho bài toán là \(AC \cdot CB = a^2 \sqrt{3}\). Trong bài viết này, chúng ta đã giải quyết bài toán tính tích vô hướng của hai vector trong tam giác vuông. Chúng ta đã sử dụng định lý cosin để tính độ dài của cạnh \(BC\) và sau đó tính tích vô hướng của hai vector \(AC\) và \(CB\). Kết quả cuối cùng là \(AC \cdot CB = a^2 \sqrt{3}\).