Giới hạn của một biểu thức vô hạn
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về giới hạn của một biểu thức vô hạn. Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét biểu thức \( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-2 x+4}-x}{3 x-1} \) và tìm cách tính giới hạn của nó khi x tiến đến dương vô cùng. Để tính giới hạn của biểu thức này, chúng ta có thể sử dụng một số phương pháp như phân rã thành tỷ lệ, sử dụng quy tắc L'Hôpital hoặc áp dụng các quy tắc đơn giản của giới hạn. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân rã thành tỷ lệ. Đầu tiên, chúng ta sẽ phân rã biểu thức thành hai phần riêng biệt: phần tử và mẫu. Phần tử của biểu thức là \( \sqrt{x^{2}-2 x+4}-x \) và mẫu là \( 3 x-1 \). Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính giới hạn của từng phần riêng biệt. Đối với phần tử, chúng ta có thể sử dụng một số quy tắc đơn giản của giới hạn để tính toán. Khi x tiến đến dương vô cùng, ta có thể thấy rằng \( \sqrt{x^{2}-2 x+4} \) cũng tiến đến dương vô cùng. Do đó, phần tử của biểu thức cũng tiến đến dương vô cùng. Đối với mẫu, chúng ta cũng có thể sử dụng quy tắc đơn giản của giới hạn để tính toán. Khi x tiến đến dương vô cùng, ta có thể thấy rằng \( 3 x-1 \) cũng tiến đến dương vô cùng. Do đó, mẫu của biểu thức cũng tiến đến dương vô cùng. Khi phân tích từng phần riêng biệt, chúng ta có thể thấy rằng cả phần tử và mẫu của biểu thức đều tiến đến dương vô cùng khi x tiến đến dương vô cùng. Vì vậy, chúng ta có thể áp dụng quy tắc giới hạn vô cùng để tính giới hạn của biểu thức. Theo quy tắc giới hạn vô cùng, khi cả phần tử và mẫu của biểu thức đều tiến đến dương vô cùng, giới hạn của biểu thức sẽ là giới hạn của tỷ số của hai giá trị này. Do đó, giới hạn của biểu thức \( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-2 x+4}-x}{3 x-1} \) khi x tiến đến dương vô cùng sẽ là \( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\infty}{\infty} \). Tuy nhiên, giới hạn \( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\infty}{\infty} \) không xác định và không thể tính toán được. Do đó, không có giới hạn xác định cho biểu thức này khi x tiến đến dương vô cùng. Tóm lại, trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về giới hạn của một biểu thức vô hạn và áp dụng phương pháp phân rã thành tỷ lệ để tính giới hạn của biểu thức \( \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-2 x+4}-x}{3 x-1} \) khi x tiến đến dương vô cùng. Kết quả cho thấy rằng không có giới hạn xác định cho biểu thức này.