Chứng minh tứ giác ACDH nội tiếp đường tròn và $\overline {BCM}=\overline {BCH}$ trên nửa đường tròn tâm O

(290 votes)

Giới thiệu: Trong bài toán này, chúng ta cần chứng minh rằng tứ giác ACDH có thể nội tiếp một đường tròn và $\overline {BCM}=\overline {BCH}$ trên nửa đường tròn tâm O với đường kính AB và điểm C là trung điểm của cung AB. Phần 1: Chứng minh tứ giác ACDH nội tiếp được đường tròn - Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung BC (M khác B và C). - Điểm M cắt BC tại D. - Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AB. - Vì AM ⊥ BC tại D, nên ∠AMD = 90°. - Vì AM cắt BC tại D, nên ∠ADM = ∠AMD. - Vì AH ⊥ BC tại H, nên ∠AHB = 90°. - Vì AH cắt BC tại H, nên ∠AHD = ∠AHD. - Do đó, tứ giác ACDH có hai góc đối diện bằng nhau (∠ADM = ∠AHD), vì vậy nó có thể nội tiếp được một đường tròn. Phần 2: Chứng minh $\overline {BCM}=\overline {BCH}$ - Vì M là một điểm bất kỳ trên cung BC (M khác B và C), nên AM ⊂ BC. - Vì AM cắt BC tại D, nên AD ⊂ BC. - Vì AH ⊥ BC tại H, nên AH ⊂ BC. - Do đó, CH ⊂ AC. - Vì C là trung điểm của cung AB, nên AC = CB. - Do đó, CH = HB. - Từ đó suy ra $\overline {BCM}=\overline {BCH}$. Kết luận: Chúng ta đã chứng minh được rằng tứ giác ACDH có thể nội tiếp một đường tròn và $\overline {BCM}=\overline