Giải phương trình bậc hai và tính giá trị của các biểu thức
Trong bài viết này, chúng ta sẽ giải phương trình bậc hai \(x^2 - 5x + 4 = 0\) và tính giá trị của các biểu thức sau đây:
a) \(x_1^2 + x_2^2\)
b) \(x_1^3 + x_2^3\)
c) \(x_1^2x_2 + xx_{\alpha}^2\)
d) \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\)
e) \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}\)
Đầu tiên, chúng ta sẽ giải phương trình bậc hai \(x^2 - 5x + 4 = 0\). Để giải phương trình này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp khai căn hoặc phương pháp hoàn thành khối vuông. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.
Để hoàn thành khối vuông, chúng ta cần tìm hai số \(a\) và \(b\) sao cho \(a + b = -5\) và \(ab = 4\). Các số này là -1 và -4. Vì vậy, phương trình có thể được viết lại dưới dạng \((x - 1)(x - 4) = 0\).
Từ đó, ta có hai giá trị của \(x\): \(x_1 = 1\) và \(x_2 = 4\).
Tiếp theo, chúng ta sẽ tính giá trị của các biểu thức đã cho:
a) \(x_1^2 + x_2^2\): Thay các giá trị \(x_1\) và \(x_2\) vào biểu thức, ta có \(1^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17\).
b) \(x_1^3 + x_2^3\): Thay các giá trị \(x_1\) và \(x_2\) vào biểu thức, ta có \(1^3 + 4^3 = 1 + 64 = 65\).
c) \(x_1^2x_2 + xx_{\alpha}^2\): Thay các giá trị \(x_1\) và \(x_2\) vào biểu thức, ta có \(1^2 \cdot 4 + 1 \cdot 4^2 = 4 + 16 = 20\).
d) \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\): Thay các giá trị \(x_1\) và \(x_2\) vào biểu thức, ta có \(\frac{1}{1} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\).
e) \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}\): Thay các giá trị \(x_1\) và \(x_2\) vào biểu thức, ta có \(\frac{1}{4} + \frac{4}{1} = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}\).
Vậy, giải phương trình bậc hai và tính giá trị của các biểu thức đã cho, chúng ta có:
a) \(x_1^2 + x_2^2 = 17\)
b) \(x_1^3 + x_2^3 = 65\)
c) \(x_1^2x_2 + xx_{\alpha}^2 = 20\)
d) \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{5}{4}\)
e) \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{17}{4}\)