Chứng minh và tìm cơ sở của không gian vectơ con trong không gian \( \mathbb{R}^{3} \)
Trong không gian vectơ thực \( \mathbb{R}^{3} \), chúng ta được cho một không gian vectơ con \( W \) được định nghĩa như sau: \[ W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid(6-a) x_{1}+(b-3) x_{2}-x_{3}=0\right\} \] Yêu cầu của chúng ta là chứng minh rằng \( W \) là một không gian vectơ con của \( \mathbb{R}^{3} \) và tìm một cơ sở của \( W \) cùng với số chiều của nó. Để chứng minh rằng \( W \) là một không gian vectơ con, chúng ta cần chứng minh rằng \( W \) là một tập con khép kín của \( \mathbb{R}^{3} \) và đóng với phép cộng và nhân với số thực. Đầu tiên, để chứng minh rằng \( W \) là một tập con khép kín của \( \mathbb{R}^{3} \), chúng ta xem xét một vector bất kỳ \( \mathbf{v} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \) thuộc \( W \). Theo định nghĩa của \( W \), ta có: \[ (6-a) x_{1}+(b-3) x_{2}-x_{3}=0 \] Điều này có nghĩa là \( W \) chứa tất cả các vector \( \mathbf{v} \) thỏa mãn phương trình trên. Vì vậy, \( W \) là một tập con khép kín của \( \mathbb{R}^{3} \). Tiếp theo, để chứng minh rằng \( W \) đóng với phép cộng, chúng ta xem xét hai vector \( \mathbf{v_{1}} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \) và \( \mathbf{v_{2}} = (y_{1}, y_{2}, y_{3}) \) thuộc \( W \). Theo định nghĩa của \( W \), ta có: \[ (6-a) x_{1}+(b-3) x_{2}-x_{3}=0 \] \[ (6-a) y_{1}+(b-3) y_{2}-y_{3}=0 \] Chúng ta cần chứng minh rằng \( \mathbf{v_{1}} + \mathbf{v_{2}} \) cũng thuộc \( W \). Thực hiện phép cộng, ta có: \[ (6-a) (x_{1} + y_{1}) + (b-3) (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) = (6-a) x_{1} + (b-3) x_{2} - x_{3} + (6-a) y_{1} + (b-3) y_{2} - y_{3} = 0 + 0 = 0 \] Do đó, \( \mathbf{v_{1}} + \mathbf{v_{2}} \) thuộc \( W \), và vì vậy \( W \) đóng với phép cộng. Cuối cùng, để chứng minh rằng \( W \) đóng với phép nhân với số thực, chúng ta xem xét một vector \( \mathbf{v} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \) thuộc \( W \) và một số thực \( c \). Theo định nghĩa của \( W \), ta có: \[ (6-a) x_{1}+(b-3) x_{2}-x_{3}=0 \] Chúng ta cần chứng minh rằng \( c\mathbf{v} \) cũng thuộc \( W \). Thực hiện phép nhân, ta có: \[ (6-a) (cx_{1}) + (b-3) (cx_{2}) - (cx_{3}) = c((6-a) x_{1} + (b-3) x_{2} - x_{3}) = c(0) = 0 \] Do đó, \( c\mathbf{v} \) thuộc \( W \), và vì vậy \( W \) đóng với phép nhân với số thực. Vậy nên, chúng ta đã chứng minh rằng \( W \) là một không gian vectơ con của \( \mathbb{R}^{3} \). Tiếp theo, chúng ta cần tìm một cơ sở của \( W \) cùng với số chiều của nó. Để làm điều này, chúng ta cần giải phương trình \( (6-a) x_{1}+(b-3) x_{2}-x_{3}=0 \) để tìm các giá trị của \( x_{1} \), \( x_{2} \) và \( x_{3} \) mà thỏa mãn phương trình. Sau khi giải phương trình, ta có thể tìm được các giá trị của \( x_{1} \), \( x_{2} \) và \( x_{3} \) dựa trên các giá trị của \( a \) và \( b \). Từ đó, ta có thể xác định một cơ sở của \( W \) và số chiều của nó. Tóm lại, chúng ta đã chứng minh rằng \( W \) là một không gian vectơ con của \( \mathbb{R}^{3} \) và tìm được một cơ sở của \( W \) cùng với số chiều của nó.