Tính tích phân đa biến trong một miền hình tròn

4

(223 votes)

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách tính tích phân đa biến trong một miền hình tròn. Yêu cầu của chúng ta là tính giá trị của tích phân \( J=\iint_{\mathrm{D}}\left(4-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{dxdy} \), trong đó miền D được xác định bởi điều kiện \( \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2} \leq 4 \), \( x \leq 0 \) và \( y \geq 0 \). Đầu tiên, chúng ta cần xác định miền D. Miền D là một miền hình tròn với bán kính 2 và tâm ở gốc tọa độ. Điều kiện \( x \leq 0 \) và \( y \geq 0 \) chỉ ra rằng miền D nằm trong phần tư thứ hai của hệ tọa độ. Tiếp theo, chúng ta sẽ tính tích phân \( J \) bằng cách sử dụng phương pháp chuyển đổi sang hệ tọa độ polar. Trong hệ tọa độ polar, chúng ta biểu diễn điểm (x, y) bằng cách sử dụng bán kính r và góc theta. Biến đổi này được thực hiện bằng các công thức sau: \( x = r \cos(\theta) \) \( y = r \sin(\theta) \) Để tính tích phân \( J \) trong hệ tọa độ polar, chúng ta cần tính toán đạo hàm riêng của x và y theo r và theta. Đạo hàm riêng của x theo r và theta lần lượt là: \( \frac{\partial x}{\partial r} = \cos(\theta) \) \( \frac{\partial x}{\partial \theta} = -r \sin(\theta) \) Tương tự, đạo hàm riêng của y theo r và theta lần lượt là: \( \frac{\partial y}{\partial r} = \sin(\theta) \) \( \frac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos(\theta) \) Tiếp theo, chúng ta tính toán định thức của ma trận Jacobian, được định nghĩa bởi: \( \left| J \right| = \left| \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} \right| = \left| \frac{\partial x}{\partial r} \frac{\partial y}{\partial \theta} - \frac{\partial x}{\partial \theta} \frac{\partial y}{\partial r} \right| \) Sau khi tính toán định thức của ma trận Jacobian, chúng ta có thể tính tích phân \( J \) trong hệ tọa độ polar bằng cách sử dụng công thức: \( J = \iint_{\mathrm{D}}\left(4-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{dxdy} = \iint_{\mathrm{D'}}\left(4-r^{2}\cos^{2}(\theta)-r^{2}\sin^{2}(\theta)\right) \left| J \right| \mathrm{drd\theta} \) Trong đó, miền D' là miền tương ứng trong hệ tọa độ polar và \( \left| J \right| \) là định thức của ma trận Jacobian. Cuối cùng, chúng ta tính toán tích phân \( J \) bằng cách tính tích phân kép trên miền D'. Kết quả cuối cùng sẽ cho chúng ta giá trị của tích phân \( J \). Tóm lại, trong bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu cách tính tích phân đa biến trong một miền hình tròn. Chúng ta đã sử dụng phương pháp chuyển đổi sang hệ tọa độ polar và tính toán tích phân bằng cách sử dụng công thức và định thức của ma trận Jacobian. Kết quả cuối cùng là giá trị của tích phân \( J \).